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\begin{document}


{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Semi-Riemannsche Geometrie"'\\Bernd Ammann, SS 2004}


    Blatt 9  \hfill  17.\ Juni 2004}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    

\a
Sei $M$ eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit, sei 
$c:\mR\to M$ eine Geod\"atische.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Zeigen Sie:
Ist $c(0)=c(L)$ und $\dot c(0)=\dot c(L)$, so ist
$c$ periodisch, $c(t)=c(t+L)$ f\"ur alle $t\in \mR$.
\item Geben Sie ein Beispiel mit $c(0)=c(L)$ und $\dot c(0)\neq \dot c(L)$.
\end{enumerate}

\a
Sei $(M,g)=(\mR P^n,\gkan)$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich ${\cal D}$ der Exponentialabbildung.
\item Bestimmen Sie f\"ur $p\in \mR P^n$ den maximalen Radius $r>0$, \sd f\"ur den 
offenen $r$-Ball $B_r(0)\subset T_pM$ mit Mittelpunkt 0 die Exponentialabbildung 
auf $B_r(0)$ injektiv ist.
\end{enumerate}

\a Sei $\phi:U\to V$ eine Karte einer semi-Riemannschen Mannigfaltigkeit. 
Wie in der Vorlesung definieren wir $R_{kij}^l$ durch 
 $$\sum_l R_{kij}^l {\pa\over \pa \phi^l}=R\Bigl({\pa\over \pa \phi^i},{\pa\over \pa \phi^j}\Bigr) {\pa\over \pa \phi^k}.$$ 
Zeigen Sie
  $$R_{kij}^l= {\pa \Ga_{jk}^l\over \pa \phi^i}-{\pa \Ga_{ik}^l\over \pa \phi^j}
    + \sum_{r=1}^{\dim M}\left(\Ga_{kj}^r \Ga_{ri}^l 
    - \Ga_{ki}^r \Ga_{rj}^l\right)$$ 

\newpage
\a 
Der Kr\"ummungstensor wird in lokalen Koordinaten durch die $n^4$ Komponenten 
  $$R_{klij}=g\left(R\Bigl({\pa\over \pa \phi^i},{\pa\over \pa \phi^j}\Bigr)
    {\pa\over \pa \phi^k},{\pa\over \pa \phi^l}\right)$$ 
festgelegt. 
\begin{enumerate}[(a)]
\item Zeigen Sie, dass die Symmetrien aus Satz 9.5 (1), (2) und (4)
die Anzahl der unabh\"angigen Komponenten auf ${n(n-1)(n^2-n+2)\over 8}$ 
reduzieren.
Genauer:
Ist~$V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum mit nicht-ausgearteter
Bilinearform~$\lan\,\cdot\,,\cdot\,\ran$,
dann bildet die Menge aller multilinearen
Abbildungen~$R\colon V\times V\times V\to V$,
die den Symmetrien aus Satz 9.5 (1), (2), und (4) gen\"ugen,
einen ${n(n-1)(n^2-n+2)\over 8}$-dimensionalen Vektorraum.
\item Zeigen Sie, dass die Symmetrien  aus Satz 9.5 (1), (2), (3) und (4)
die Anzahl der unabh\"angigen Komponenten auf ${n^2(n^2-1)\over 12}$ 
reduzieren.
\end{enumerate}


\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Donnerstag, 24.6.2004 im Postfach von Herrn Wotzke\\
Geben Sie bitte Ihren Namen auf ihren L\"osungen an und heften Sie bitte alle
Bl\"atter zusammen.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-bonn.de/people/ammann/uebungen}
\end{document}
















