Übungen zur Vorlesung ”Semi-Riemannsche Geometrie“ Bernd Ammann, SS 2004 Blatt 9 17. Juni 2004

1 Sei M eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit, sei c : ℝ → M eine Geodätische.

(a) Zeigen Sie: Ist c(0) = c(L) und ċ(0) = ċ(L), so ist c periodisch, c(t) = c(t + L) für alle t ∈ ℝ.

(b) Geben Sie ein Beispiel mit c(0) = c(L) und ċ(0) ≠ ċ(L).

2 Sei (M, g) = (ℝP^{n}, g_{kan}).

(a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D der Exponentialabbildung.

(b) Bestimmen Sie für p ∈ ℝP^{n} den maximalen Radius r > 0, s. d. für den offenen r-Ball B_{r}(0) ⊂ T_{p}M mit Mittelpunkt 0 die Exponentialabbildung auf B_{r}(0) injektiv ist.

3 Sei φ : U → V eine Karte einer semi-Riemannschen Mannigfaltigkeit. Wie in der Vorlesung definieren wir R_{kij}^{l} durch

∑_{l} R_{kij}^{l} \frac{∂}{∂φ^{l}} = R(\frac{∂}{∂φ^{i}} , \frac{∂}{∂φ^{j}} )\frac{∂}{∂φ^{k}} .

Zeigen Sie

R_{kij}^{l} = \frac{∂Γ_{jk}^{l}}{∂φ^{i}} − \frac{∂Γ_{ik}^{l}}{∂φ^{j}} + ∑_{r=1}^{dim M} (Γ_{kj}^{r}Γ_{ri}^{l} − Γ_{ki}^{r}Γ_{rj}^{l})

4 Der Krümmungstensor wird in lokalen Koordinaten durch die n^{4} Komponenten

R_{klij} = g (R(\frac{∂}{∂φ^{i}} , \frac{∂}{∂φ^{j}} )\frac{∂}{∂φ^{k}} , \frac{∂}{∂φ^{l}} )

festgelegt.

(a) Zeigen Sie, dass die Symmetrien aus Satz 9.5 (1), (2) und (4) die Anzahl der unabhängigen Komponenten auf \frac{n(n−1)(n^{2}−n+2)}{8} reduzieren. Genauer: Ist V ein n-dimensionaler Vektorraum mit nicht-ausgearteter Bilinearform ⟨ · , · ⟩, dann bildet die Menge aller multilinearen Abbildungen R: V × V × V → V, die den Symmetrien aus Satz 9.5 (1), (2), und (4) genügen, einen \frac{n(n−1)(n^{2}−n+2)}{8}-dimensionalen Vektorraum.

(b) Zeigen Sie, dass die Symmetrien aus Satz 9.5 (1), (2), (3) und (4) die Anzahl der unabhängigen Komponenten auf \frac{n^{2}(n^{2}−1)}{12} reduzieren.

Abgabe: Donnerstag, 24.6.2004 im Postfach von Herrn Wotzke Geben Sie bitte Ihren Namen auf ihren Lösungen an und heften Sie bitte alle Blätter zusammen.

http://www.math.uni-bonn.de/people/ammann/uebungen