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  pdftitle={\"Ubungen Semi-Riemannsche Geometrie},
  pdfauthor={Bernd Ammann},
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\begin{document}


{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Semi-Riemannsche Geometrie"'\\Bernd Ammann, SS 2004}


    Blatt 8  \hfill  9.\ Juni 2004}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    

\a Sei $V:=(0,2\pi)\times (-\pi/2,\pi/2)$ und $\psi:V\to S^2$, 
  $$\psi(\alpha,\rho)= \left(
    \begin{matrix}\cos(\alpha)\cos (\rho) \cr 
                  \cos(\alpha)\cos (\rho) \cr
                  \sin(\rho)
     \end{matrix} 
     \right).$$
Zeigen Sie, dass $\psi$ injektiv ist, bestimmen Sie die Menge 
$U:=\psi(V)$, und zeigen Sie, dass $\psi^{-1}:U\to V$ eine 
Karte von $S^2$ ist. Skizzieren Sie die Koordinaten-Vektorfelder
und berechenen Sie die Christoffelsymbole bez\"uglich 
der Standardmetrik auf $S^2$ f\"ur diese Karte.

\a
\emph{Transformationsformel f\"ur Christoffelsymbole.}
Sei $M$ eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit, seien $\phi\colon U\to V$, 
$\psi\colon \witi U \to \witi V$ zwei Karten von $M$, seien $g_{ij}$ bzw.\ $\ti g_{ij}$
die Koordinatendarstellungen der semi-Riemannschen Metrik und
$\Ga_{ij}^k$ bzw.\ 
$\witi\Ga_{ij}^k$ die Christoffelsymbole des Levi-Civita-Zusammenhangs 
bez\"uglich dieser Karten.\newline 
Zeigen Sie:
  $$\sum_k\Ga_{ij}^k \,g_{kv} = \sum_{t,s}\frac{\pa \psi^t}{\pa \phi^v}\, 
    \frac{\pa^2 \psi^s}{\pa \phi^j\,\pa \phi^i}\,\ti g_{st} + 
    \sum_{r,s,t,w}\frac{\pa \psi^r}{\pa \phi^i}\,\frac{\pa \psi^s}{\pa \phi^j}\,\frac{\pa \psi^w}{\pa \phi^v}\,
    \witi\Ga_{rs}^t \, \ti g_{tw}$$

\a Sei $c:[a,b]\to M$ eine Kurve in einer semi-Riemannschen Mannigfaltigkeit
$(M,g)$. 
\begin{enumerate}[(a)]
\item Zeigen Sie, dass es zu jedem $\xi\in T_{c(a)}M$ genau
ein Vektorfeld $Z_\xi$ l\"angs $c$ gibt, 
so dass $Z_\xi(a)=\xi$ und $\na_{\dot c(t)}Z_\xi=0$
f\"ur alle $t\in [a,b]$.
\item Zeigen Sie, dass die Abbildung $P_c:T_{c(a)}M\to T_{c(b)}M$, 
$\xi\mapsto Z_\xi(b)$ eine Isometrie ist. 
\emph{Bemerkung: Diese Abbildung hei\ss{}t Paralleltransport von
$T_{c(a)}M$ nach  $T_{c(b)}M$ l\"angs $c$.}
\item Sei $I:M\to M$ eine Isometrie, und $c$ verlaufe in der 
Fixpunktmenge von $I$. Zeigen Sie, dass dann $P_c\circ I=I\circ P_c$.
Berechnen Sie hiermit den Paralleltransport entlang von Gro\ss{}kreisen 
in $S^n$.
\item Zeigen Sie an Hand eines Beispiels,
dass der Paralleltransport von $T_pM$ nach $T_qM$ von der Wahl der Kurve $c$ 
abh\"angt, und nicht nur von den Endpunkten. \emph{(Tipp: Nutzen Sie Aufgabe (c).)}
\end{enumerate}
\newpage
\a Sei $(M,g)$ eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeigen Sie, 
dass es f\"ur jedes $X\in TM$ eine auf $\mR$ definierte Geod\"atische
$\gamma:\mR\to M$ gibt mit $\dot\gamma(0)=X$.
(\emph{Tipp: Nutzen Sie, dass die Menge aller
Vektoren in $TM$ der L\"ange $1$ in einer geeigneten Topologie eine
kompakte Menge ist.})

%\a Sei $(M,g)$ eine semi-riemannsche Mannigfaltigkeit.
%F\"ur Vektorfelder $X,Y,Z\in \Gamma(TM)$ definieren wir das Vektorfeld
%  $$\cR(X,Y,Z):=\nabla_X \nabla_Y Z - \nabla_Y \nabla_X Z - \nabla_{[X,Y]} Z.$$
%Zeigen Sie, dass der Wert von $\cR(X,Y,Z)$ an der Stelle $p\in M$
%nur von $X_p$, $Y_p$, $Z_p$ und von $(M,g)$ abh\"angt.
%Zeigen Sie, dass es einen Tensor $R\in \Gamma(T^{1,3}M)$ gibt, so dass
%  $$(\cR(X,Y,Z))_p= R_p(X_p,Y_p,Z_p).$$
%Bemerkung: Dieser Tensor $R$ hei\ss{}t \emph{Riemannscher Kr\"ummungstensor}.

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Donnerstag, 17.6.2004 im Postfach von Herrn Wotzke\\
Geben Sie bitte Ihren Namen auf ihren L\"osungen an und heften Sie bitte alle
Bl\"atter zusammen.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-bonn.de/people/ammann/uebungen}
\end{document}
















