Übungen zur Vorlesung ”Semi-Riemannsche Geometrie“ Bernd Ammann, SS 2004 Blatt 8 9. Juni 2004

1 Sei V := (0, 2π) × (−π/2, π/2) und ψ : V → S^{2},

ψ(α, ρ) = (\begin{matrix}cos(α) cos(ρ) \\ cos(α) cos(ρ) \\ sin(ρ) \end{matrix}) .

Zeigen Sie, dass ψ injektiv ist, bestimmen Sie die Menge U := ψ(V), und zeigen Sie, dass ψ^{−1} : U → V eine Karte von S^{2} ist. Skizzieren Sie die Koordinaten-Vektorfelder und berechenen Sie die Christoffelsymbole bezüglich der Standardmetrik auf S^{2} für diese Karte.

2 Transformationsformel für Christoffelsymbole. Sei M eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit, seien φ: U → V, ψ: Ũ → Ṽ zwei Karten von M, seien g_{ij} bzw. g̃_{ij} die Koordinatendarstellungen der semi-Riemannschen Metrik und Γ_{ij}^{k} bzw. Γ̃_{ij}^{k} die Christoffelsymbole des Levi-Civita-Zusammenhangs bezüglich dieser Karten. Zeigen Sie:

∑_{k} Γ_{ij}^{k} g_{kv} = ∑_{t,s} \frac{∂ψ^{t}}{∂φ^{v}} \frac{∂^{2}ψ^{s}}{∂φ^{j} ∂φ^{i}} g̃_{st} + ∑_{r,s,t,w} \frac{∂ψ^{r}}{∂φ^{i}} \frac{∂ψ^{s}}{∂φ^{j}} \frac{∂ψ^{w}}{∂φ^{v}} Γ̃_{rs}^{t} g̃_{tw}

3 Sei c : [a, b] → M eine Kurve in einer semi-Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g).

(a) Zeigen Sie, dass es zu jedem ξ ∈ T_{c(a)}M genau ein Vektorfeld Z_{ξ} längs c gibt, so dass Z_{ξ}(a) = ξ und ∇_{ċ(t)}Z_{ξ} = 0 für alle t ∈ [a, b].

(b) Zeigen Sie, dass die Abbildung P_{c} : T_{c(a)}M → T_{c(b)}M, ξ ↦ Z_{ξ}(b) eine Isometrie ist. Bemerkung: Diese Abbildung heißt Paralleltransport von T_{c(a)}M nach T_{c(b)}M längs c.

(c) Sei I : M → M eine Isometrie, und c verlaufe in der Fixpunktmenge von I. Zeigen Sie, dass dann P_{c} ∘ I = I ∘ P_{c}. Berechnen Sie hiermit den Paralleltransport entlang von Großkreisen in S^{n}.

(d) Zeigen Sie an Hand eines Beispiels, dass der Paralleltransport von T_{p}M nach T_{q}M von der Wahl der Kurve c abhängt, und nicht nur von den Endpunkten. (Tipp: Nutzen Sie Aufgabe (c).)

4 Sei (M, g) eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeigen Sie, dass es für jedes X ∈ T M eine auf ℝ definierte Geodätische γ : ℝ → M gibt mit γ̇(0) = X. (Tipp: Nutzen Sie, dass die Menge aller Vektoren in T M der Länge 1 in einer geeigneten Topologie eine kompakte Menge ist.)

Abgabe: Donnerstag, 17.6.2004 im Postfach von Herrn Wotzke Geben Sie bitte Ihren Namen auf ihren Lösungen an und heften Sie bitte alle Blätter zusammen.

http://www.math.uni-bonn.de/people/ammann/uebungen