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\begin{document}


{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Semi-Riemannsche Geometrie"'\\Bernd Ammann, SS 2004}


    Blatt 7  \hfill  27.\ Mai 2004}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    

\a Sei $e_1,..,e_{n}$ die kanonische Basis von $\mR^{n}$.
%Gibt es Vektoren $a_1,...,a_k\in mR^n$, so dass 
%Welche der folgenden Tensoren aus $\mR^n\otimes \mR^n$ kann man in der Form
%$v\otimes w$ schreiben?
\begin{enumerate}[(a)]
\item Sei $n\geq 4$. Gibt es Vektoren $a_1,a_2\in \mR^n$, so dass 
$e_1\otimes e_2 + e_3\otimes e_4= a_1\otimes a_2$?
\item Sei $n\geq 3$. F\"ur welche Matritzen $(b_{ij})_{ij}$ 
gibt es Vektoren $a_1,a_2,a_3,a_4\in \mR^n$, so dass
  $$\sum_{i,j=1}^3 b_{ij}e_i\otimes e_j= a_1\otimes a_2 + a_3\otimes a_4$$
\end{enumerate}





\a
Sei~$(M,g)$ eine semi-riemannsche Mannigfaltigkeit und~$f\colon M\to\mR$
eine~$C^\infty$-Funktion.
Eine Basis~$e_1$, \dots, $e_n$ von~$T_pM$ f\"ur~$p\in M$
hei\ss t {\em Orthonormalbasis,\/}
falls~$g_p(e_i,e_j)=0$ f\"ur~$i\ne j$ und~$g_p(e_i,e_i)=\ep_i=\pm 1$.
Zeigen Sie:
\begin{enumerate}[(a)]
\item
Es gibt genau ein $C^\infty$-Vektorfeld~$\grad f$ auf~$M$,
so da\ss\ f\"ur alle $C^\infty$-Vektorfelder~$X$ gilt:
	$$g(\grad f,X)=\pa_Xf\;.$$
$\grad f$ hei\ss t {\em Gradientenvektorfeld\/} von~$f$.
\item
F\"ur eine Orthonormalbasis~$e_1$, \dots, $e_n$ von~$T_pM$ gilt:
	$$\grad f(p)=\sum_{i=1}^n\ep_i\pa_{e_i}f\cdot e_i\;.$$
\item
In lokalen Koordinaten gilt:
	$$\grad f
	=\sum_{i,j=1}^ng^{ij}\cdot{\pa f\over\pa \phi^i}\cdot {\pa\over \pa \phi^j}\;,$$
dabei ist~$g_{ij}(p):=g({\pa\over \pa \phi^i}|_p,{\pa\over \pa \phi^j}|_p)$ 
und~$\bigl(g^{ij}(p)\bigr)_{i,j}$ die zu~$\bigl(g_{ij}(p)\bigr)_{i,j}$
inverse Matrix.
\end{enumerate}

\a Sei $\phi:\mR^2\to \mR^2$ die durch die Identit\"at gegebene Karte von 
$\mR^2$. Wir definieren
  $$g= \cos \phi^1 \, (d\phi^1\otimes d\phi^1 - d\phi^2\otimes d\phi^2) 
+ \sin \phi^1 \,(d\phi^1 \otimes d\phi^2+ d\phi^2 \otimes d\phi^1).$$
Zeigen Sie, dass $g$ eine Lorentzmetrik auf $\mR^2$ ist. Skizzieren Sie
die Zeitkegel wie in Beispiel~7.5 (Schwarzschildhalbebene) der Vorlesung.
Besitzt $(\mR^2,g)$ eine Zeitorientierung? 
Zeigen Sie, dass die obige Definition von $g$ auch eine Metrik auf 
$(\mR/{2 \pi \mZ})\times \mR$ definiert. Besitzt ${((\mR/{2 \pi \mZ})\times \mR,g)}$ eine Zeitorientierung? Gibt es eine Zeitorientierung
auf  ${((\mR/{4 \pi \mZ})\times \mR,g)}$?

\newpage
\a Sei $M$ eine Untermannigfaltigkeit von $\mR^n$ mit der induzierten Metrik, 
und $M$ sei abgeschlossen.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Zeigen Sie, dass man jedes Vektorfeld $X$ auf $M$ zu einem Vektorfeld 
auf $\mR^n$ fortsetzen kann, d.h.\ es gibt ein 
(glattes) Vektorfeld  $\tilde X$ auf $\mR^n$,
so dass f\"ur jedes $p\in M$ gilt
  $$\tilde X|_p= X|_p,$$
wobei wir wie bisher $T_pM$ verm\"oge der Abbildung $\rho_p:T_pM\to \mR^n$ 
in $\mR^n$ einbetten. 
\item Die Orthogonalprojektion von $\mR^n$ auf $T_pM$ 
bezeichnen wir mit $P:\mR^n\to T_pM$.
Sei nun $Y$ ein weiteres Vektorfeld auf $M$ mit Fortsetzung $\tilde Y$. 
Zeigen Sie f\"ur $p\in M$
  $$P\Bigl[(\partial_{\tilde Y} \tilde X)|_p\bigr]= (\nabla_Y X)|_p,$$ 
wobei $\nabla_Y X$ der Levi-Civita-Zusammenhang auf $M$ ist.
%\item Wir definieren nun die \emph{zweite Fundamentalform}
% $$\II|_p: T_pM\times T_pM \to \mR^n,\qquad  \II|_p(X,Y)= 
%(\partial_{\tilde Y} \tilde X)|_p -(\nabla Y X)|_p.$$ 
%Zeigen Sie, dass $\II|_p(X,Y=$ nur von $X|_p$ und $Y|_p$ abh\"angt. 
\item Gilt Aussage (a) auch noch, wenn $M$ nicht abgeschlossen ist? 
Begr\"unden Sie oder geben Sie ein Gegenbeispiel an. 
Formulieren Sie eine zu (b) analoge Aussage f\"ur 
nicht-abgeschlossene $M$.
\end{enumerate}


\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Freitag, 11.6.2004 im Postfach von Herrn Wotzke\\
Geben Sie bitte Ihren Namen auf ihren L\"osungen an und heften Sie bitte alle
Bl\"atter zusammen.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-bonn.de/people/ammann/uebungen}
\end{document}
















