Übungen zur Vorlesung ”Semi-Riemannsche Geometrie“ Bernd Ammann, SS 2004 Blatt 7 27. Mai 2004

1 Sei e_{1}, .., e_{n} die kanonische Basis von ℝ^{n}.

(a) Sei n ≥ 4. Gibt es Vektoren a_{1}, a_{2} ∈ ℝ^{n}, so dass e_{1} ⊗ e_{2} + e_{3} ⊗ e_{4} = a_{1} ⊗ a_{2}?

(b) Sei n ≥ 3. Für welche Matritzen (b_{ij})_{ij} gibt es Vektoren a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} ∈ ℝ^{n}, so dass

∑_{i,j=1}^{3} b_{ij}e_{i} ⊗ e_{j} = a_{1} ⊗ a_{2} + a_{3} ⊗ a_{4}

2 Sei (M, g) eine semi-riemannsche Mannigfaltigkeit und f: M → ℝ eine C^{∞}-Funktion. Eine Basis e_{1}, …, e_{n} von T_{p}M für p ∈ M heißt Orthonormalbasis, falls g_{p}(e_{i}, e_{j}) = 0 für i ≠ j und g_{p}(e_{i}, e_{i}) = ε_{i} = ±1. Zeigen Sie:

(a) Es gibt genau ein C^{∞}-Vektorfeld grad f auf M, so daß für alle C^{∞}-Vektorfelder X gilt:

g(grad f, X) = ∂_{X}f .

grad f heißt Gradientenvektorfeld von f.

(b) Für eine Orthonormalbasis e_{1}, …, e_{n} von T_{p}M gilt:

grad f(p) = ∑_{i=1}^{n} ε_{i}∂_{e_{i}}f · e_{i} .

(c) In lokalen Koordinaten gilt:

grad f = ∑_{i,j=1}^{n} g^{ij} · \frac{∂f}{∂φ^{i}} · \frac{∂}{∂φ^{j}} ,

dabei ist g_{ij}(p) := g(\frac{∂}{∂φ^{i}} |_{p}, \frac{∂}{∂φ^{j}} |_{p}) und (g^{ij}(p))_{i,j} die zu (g_{ij}(p))_{i,j} inverse Matrix.

3 Sei φ : ℝ^{2} → ℝ^{2} die durch die Identität gegebene Karte von ℝ^{2}. Wir definieren

g = cos φ^{1} (dφ^{1} ⊗ dφ^{1} − dφ^{2} ⊗ dφ^{2}) + sin φ^{1} (dφ^{1} ⊗ dφ^{2} + dφ^{2} ⊗ dφ^{1}).

Zeigen Sie, dass g eine Lorentzmetrik auf ℝ^{2} ist. Skizzieren Sie die Zeitkegel wie in Beispiel 7.5 (Schwarzschildhalbebene) der Vorlesung. Besitzt (ℝ^{2}, g) eine Zeitorientierung? Zeigen Sie, dass die obige Definition von g auch eine Metrik auf (ℝ/2πℤ) × ℝ definiert. Besitzt ((ℝ/2πℤ) × ℝ, g) eine Zeitorientierung? Gibt es eine Zeitorientierung auf ((ℝ/4πℤ) × ℝ, g)?

4 Sei M eine Untermannigfaltigkeit von ℝ^{n} mit der induzierten Metrik, und M sei abgeschlossen.

(a) Zeigen Sie, dass man jedes Vektorfeld X auf M zu einem Vektorfeld auf ℝ^{n} fortsetzen kann, d.h. es gibt ein (glattes) Vektorfeld X̃ auf ℝ^{n}, so dass für jedes p ∈ M gilt

X̃|_{p} = X|_{p},

wobei wir wie bisher T_{p}M vermöge der Abbildung ρ_{p} : T_{p}M → ℝ^{n} in ℝ^{n} einbetten.

(b) Die Orthogonalprojektion von ℝ^{n} auf T_{p}M bezeichnen wir mit P : ℝ^{n} → T_{p}M. Sei nun Y ein weiteres Vektorfeld auf M mit Fortsetzung Ỹ. Zeigen Sie für p ∈ M

P [(∂Ỹ X̃)|_{p}] = (∇_{Y} X)|_{p},

wobei ∇_{Y} X der Levi-Civita-Zusammenhang auf M ist.

(c) Gilt Aussage (a) auch noch, wenn M nicht abgeschlossen ist? Begründen Sie oder geben Sie ein Gegenbeispiel an. Formulieren Sie eine zu (b) analoge Aussage für nichtabgeschlossene M.

Abgabe: Freitag, 11.6.2004 im Postfach von Herrn Wotzke Geben Sie bitte Ihren Namen auf ihren Lösungen an und heften Sie bitte alle Blätter zusammen.

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