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  pdfauthor={Bernd Ammann},
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\begin{document}



{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Semi-Riemannsche Geometrie"'\\Bernd Ammann, SS 2004}


    Blatt 6  \hfill  20.\ Mai 2004}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}
\a Ein Raumschiff reist in $\mR^{3,1}$. Es beginnt zun\"achst 
im Punkt $(0,0,0,0)$, fliegt dann frei fallend (=geradlinig)  
zum Ereignis $(1,0,0,2)$, dreht dort abrupt um und fliegt frei fallend
zum Ereignis $(0,0,0,5)$. Um wieviele Zeiteinheiten ist der Pilot w\"ahrend 
der Reise gealtert?

\a Sei $\gamma:I\to \mR^{n,1}$ eine nach Eigenzeit parametrisierte 
\"uberall zeitartige Kurve.
Zeigen Sie:
\begin{enumerate}[(a)]
\item $g(\dot\gamma(r),\ddot\gamma(r))=0$ f\"ur alle $r\in I$.
({\it Bemerkung:}  $a(r):=\ddot\gamma(r)$ hei\ss{}t die \emph{Beschleunigung} der Weltlinie.)
\item $\ddot\gamma(r)$ ist immer raumartig oder Null.
\item Ist $n=1$ und $g(a(r),a(r))=const> 0$, dann bewegt sich $\gamma$ 
auf einer Hyperbel. 
\end{enumerate}

\a Sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zeigen Sie
\begin{enumerate}[(a)]
\item Gibt es ein nirgendwo verschwindendes Vektorfeld $X$ auf $M$, dann  
gibt es eine Lorentzmetrik $g$ auf $M$, so dass $X$ bez\"uglich 
$g$ zeitartig ist. \emph{(Bemerkung: Versieht man jeden $(T_pM,g_p)$ mit der
Zeitorientierung, so dass $X$ zukunftsgerichtet, dann sehen wir also,
dass diese Zeitorientierung "`stetig"' von $p$ abh\"angt. Solch eine stetige Wahl einer Zeitorientierung nennt man auch Zeitorientierung von $(M,g)$.)}
\item Ist umgekehrt $g$ eine Lorentzmetrik auf $M$ und ist eine 
Zeitorientierung gew\"ahlt, so gibt es ein nicht verschwindendes zeitartiges 
zukunftsgerichtetes Vektorfeld $X$ auf $M$.
\end{enumerate}

\a
\begin{enumerate}[(a)]
\item Konstruieren Sie eine Lorentzmetrik auf $S^{2k+1}$, $k\in \mN$.
\emph{Tipp: Denken Sie an die vorige Aufgabe und Blatt 5, Aufgabe 2.}
\item Gibt es Lorentzmetriken auf $S^{2k}$ f\"ur $k\in \mN$? 
\emph{Tipp: Zeigen Sie zun\"achst, dass jede Lorentzmetrik auf $S^n$ 
notwendigerweise zeitorientiert sein muss. Nutzen Sie dann die Tatsache, 
dass es auf $S^{2k}$ kein nirgends verschwindendes Vektorfeld gibt 
(Ein Beweis dieser Tatsache  w\"are sch\"on, 
ist aber nicht erforderlich, sondern eine freiwillige Zusatzaufgabe.)}   
\end{enumerate}




\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Freitag, 28.5.2004 im Postfach von Herrn Wotzke\\
Geben Sie bitte Ihren Namen auf ihren L\"osungen an und heften Sie bitte alle
Bl\"atter zusammen.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-bonn.de/people/ammann/uebungen}
\end{document}
















