Übungen zur Vorlesung ”Semi-Riemannsche Geometrie“ Bernd Ammann, SS 2004 Blatt 6 20. Mai 2004

1 Ein Raumschiff reist in ℝ^{3,1}. Es beginnt zunächst im Punkt (0, 0, 0, 0), fliegt dann frei fallend (=geradlinig) zum Ereignis (1, 0, 0, 2), dreht dort abrupt um und fliegt frei fallend zum Ereignis (0, 0, 0, 5). Um wieviele Zeiteinheiten ist der Pilot während der Reise gealtert?

2 Sei γ : I → ℝ^{n,1} eine nach Eigenzeit parametrisierte überall zeitartige Kurve. Zeigen Sie:

(a) g(γ̇(r), γ̈(r)) = 0 für alle r ∈ I. (Bemerkung: a(r) := γ̈(r) heißt die Beschleunigung der Weltlinie.)

(b) γ̈(r) ist immer raumartig oder Null.

(c) Ist n = 1 und g(a(r), a(r)) = const > 0, dann bewegt sich γ auf einer Hyperbel.

3 Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Zeigen Sie

(a) Gibt es ein nirgendwo verschwindendes Vektorfeld X auf M, dann gibt es eine Lorentzmetrik g auf M, so dass X bezüglich g zeitartig ist. (Bemerkung: Versieht man jeden (T_{p}M, g_{p}) mit der Zeitorientierung, so dass X zukunftsgerichtet, dann sehen wir also, dass diese Zeitorientierung ”stetig“ von p abhängt. Solch eine stetige Wahl einer Zeitorientierung nennt man auch Zeitorientierung von (M, g).)

(b) Ist umgekehrt g eine Lorentzmetrik auf M und ist eine Zeitorientierung gewählt, so gibt es ein nicht verschwindendes zeitartiges zukunftsgerichtetes Vektorfeld X auf M.

4

(a) Konstruieren Sie eine Lorentzmetrik auf S^{2k+1}, k ∈ ℕ. Tipp: Denken Sie an die vorige Aufgabe und Blatt 5, Aufgabe 2.

(b) Gibt es Lorentzmetriken auf S^{2k} für k ∈ ℕ? Tipp: Zeigen Sie zunächst, dass jede Lorentzmetrik auf S^{n} notwendigerweise zeitorientiert sein muss. Nutzen Sie dann die Tatsache, dass es auf S^{2k} kein nirgends verschwindendes Vektorfeld gibt (Ein Beweis dieser Tatsache wäre schön, ist aber nicht erforderlich, sondern eine freiwillige Zusatzaufgabe.)

Abgabe: Freitag, 28.5.2004 im Postfach von Herrn Wotzke Geben Sie bitte Ihren Namen auf ihren Lösungen an und heften Sie bitte alle Blätter zusammen.

http://www.math.uni-bonn.de/people/ammann/uebungen