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  pdfauthor={Bernd Ammann},
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\begin{document}



{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Semi-Riemannsche Geometrie"'\\Bernd Ammann, SS 2004}

    Blatt 5  \hfill  13.\ Mai 2004}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}
\a Sei $M$ eine differenzierbare $2$-dimensionale 
Mannigfaltigkeit und $\phi:M\to V\subset \mR^2$ eine auf ganz $M$ gegebene Karte. Skizzieren sie die Vektorfelder
$\phi_2 {\partial\over \partial \phi_1}$, ${\partial\over \partial \phi_2}$,
und $-\phi_1 {\partial\over \partial \phi_2}$.
Berechnen Sie die folgenden Lie-Klammern 
\begin{enumerate}[(a)]
\item $[\phi_2 {\partial\over \partial \phi_1},{\partial\over \partial \phi_2}]$ 
\item $[\phi_2 {\partial\over \partial \phi_1},-\phi_1 {\partial\over \partial \phi_2}]$
\item  $[\phi_2 {\partial\over \partial \phi_1},\phi_1 {\partial\over \partial \phi_2}]$
\end{enumerate}

\a
Sei~$M=S^{2n+1}\subset\mC^{n+1}$.
Zu~$p\in S^{2n+1}$ setze
	$$c_p(t)=e^{it}\cdot p\;.$$
Zeigen Sie,
da\ss~$X(p):=[c_p]$ ein nirgends verschwindendes $C^\infty$-Vektorfeld
auf~$M$ ist.


\a 
\begin{enumerate}[(a)]
\item
Sei $Z:=\{X\in \mR^{n,m}\,|\,g(X,X)<0\}$ die Menge der zeitartigen Vektoren
in $\mR^{n,m}$. Zeigen Sie, dass 
  $$\mR^n\times S^{m-1}\times \mR^+\to Z,\qquad (x,y,t)\mapsto (x,\sqrt{|x|^2+t}\;y)$$
ein Diffeomorphismus ist. Wievele Zusammenhangskomponenten hat also $Z$?
\item
Ist $V\in \mR^{n,1}$ raumartig, dann gibt es zukunftsgerichtete
(zeitartige) Vektoren $X_+$, $X_-$ und $X_0$, so dass
$g(Y,X_+)>0$, $g(Y,X_-)<0$ und $g(Y,X_0)=0$.
\end{enumerate}

\newpage
\a Sei $a\in \mR\setminus\{0\}$.
Zeigen Sie, dass $M:=\{x\in \mR^{n,m}\,|\,g(x,x)=a\}$ eine 
Untermanngifaltigkeit von $V$ ist. Sei $i:M\to \mR^{n,m}$
die Inklusion, $p\in M$, $\rho_p:=di|_p:T_pM \to \mR^{n,m}$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Zeigen Sie: Sind $X,Y$ glatte Vektorfelder auf $M$, 
so ist $p\mapsto (\rho^*_p g)(X_p,Y_p)$ eine glatte Funktion auf $M$,
\item $\rho_p^*g$ ist eine {\bf nicht-entartete} symmetrische Bilinearform auf
$T_pM$,
\item Bestimmen Sie den Index von $\rho_p^*g$.
\item Sei nun $m=1$, $a=-1$. Gegeben seien $p,q\in M$, $X\in T_pM$
und $Y\in T_qM$ mit $g(di|_p X,di|_p X)=g(di|_q Y,di|_q Y)$. 
Zeigen Sie, dass es eine 
Vektorraum-Isometrie ${A:\mR^{n,1}\to \mR^{n,1}}$ gibt mit $A(p)=q$
und $dA|_p(X)=Y$ gibt.
\end{enumerate}




\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Freitag, 21.5.2004 im Postfach von Herrn Wotzke\\
Geben Sie bitte Ihren Namen auf ihren L\"osungen an und heften Sie bitte alle
Bl\"atter zusammen.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-bonn.de/people/ammann/uebungen}
\end{document}
















