Übungen zur Vorlesung ”Semi-Riemannsche Geometrie“ Bernd Ammann, SS 2004 Blatt 5 13. Mai 2004

1 Sei M eine differenzierbare 2-dimensionale Mannigfaltigkeit und φ : M → V ⊂ ℝ^{2} eine auf ganz M gegebene Karte. Skizzieren sie die Vektorfelder φ_{2} \frac{∂}{∂φ_{1}} , \frac{∂}{∂φ_{2}} , und −φ_{1} \frac{∂}{∂φ_{2}} . Berechnen Sie die folgenden Lie-Klammern

(a) [φ_{2} \frac{∂}{∂φ_{1}} , \frac{∂}{∂φ_{2}} ]

(b) [φ_{2} \frac{∂}{∂φ_{1}} , −φ_{1} \frac{∂}{∂φ_{2}} ]

(c) [φ_{2} \frac{∂}{∂φ_{1}} , φ_{1} \frac{∂}{∂φ_{2}} ]

2 Sei M = S^{2n+1} ⊂ ℂ^{n+1}. Zu p ∈ S^{2n+1} setze

c_{p}(t) = e^{it} · p .

Zeigen Sie, daß X(p) := [c_{p}] ein nirgends verschwindendes C^{∞}-Vektorfeld auf M ist.

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(a) Sei Z := {X ∈ ℝ^{n,m} | g(X, X) < 0} die Menge der zeitartigen Vektoren in ℝ^{n,m}. Zeigen

Sie, dass

ℝ^{n} × S^{m−1} × ℝ^{+} → Z, (x, y, t) ↦ (x, \sqrt{|x|^{2} + t} y)

ein Diffeomorphismus ist. Wievele Zusammenhangskomponenten hat also Z?

(b) Ist V ∈ ℝ^{n,1} raumartig, dann gibt es zukunftsgerichtete (zeitartige) Vektoren X_{+}, X_{−} und X_{0}, so dass g(Y, X_{+}) > 0, g(Y, X_{−}) < 0 und g(Y, X_{0}) = 0.

4 Sei a ∈ ℝ \ {0}. Zeigen Sie, dass M := {x ∈ ℝ^{n,m} | g(x, x) = a} eine Untermanngifaltigkeit von V ist. Sei i : M → ℝ^{n,m} die Inklusion, p ∈ M, ρ_{p} := di|_{p} : T_{p}M → ℝ^{n,m}.

(a) Zeigen Sie: Sind X, Y glatte Vektorfelder auf M, so ist p ↦ (ρ_{p}^{∗}g)(X_{p}, Y_{p}) eine glatte Funktion auf M,

(b) ρ_{p}^{∗}g ist eine nicht-entartete symmetrische Bilinearform auf T_{p}M,

(c) Bestimmen Sie den Index von ρ_{p}^{∗}g.

(d) Sei nun m = 1, a = −1. Gegeben seien p, q ∈ M, X ∈ T_{p}M und Y ∈ T_{q}M mit g(di|_{p}X, di|_{p}X) = g(di|_{q}Y, di|_{q}Y). Zeigen Sie, dass es eine Vektorraum-Isometrie A : ℝ^{n,1} → ℝ^{n,1} gibt mit A(p) = q und dA|_{p}(X) = Y gibt.

Abgabe: Freitag, 21.5.2004 im Postfach von Herrn Wotzke Geben Sie bitte Ihren Namen auf ihren Lösungen an und heften Sie bitte alle Blätter zusammen.

http://www.math.uni-bonn.de/people/ammann/uebungen