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  pdftitle={\"Ubungen Semi-Riemannsche Geometrie},
  pdfauthor={Bernd Ammann},
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\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Semi-Riemannsche Geometrie"'\\Bernd Ammann, SS 2004}

    Blatt 4  \hfill  6.\ Mai 2004}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}


\a Wir schreiben f\"ur die \"Aquivalenzklasse $(x_0,\ldots,x_n)\in \mR^{n+1}\setminus \{0\}$ kurz $[x_0,\ldots,x_n]$. 
Zeigen Sie, dass folgende Abbildungen wohldefiniert und glatt sind:
\begin{enumerate}[(a)]
\item 
 \emph{Veronese-Abbildung}:
 $\phi: \mR P^2 \to \mR P^5$,
 $\phi\bigl([x_0,x_1,x_2]\bigr)= [x_0^2,x_1^2,x_2^2,x_0x_1,x_0x_2,x_1x_2]$.
\item 
 \emph{Segre-Abbildung}:
 $\psi: \mR P^2 \times \mR P^2 \to \mR P^8$,
 $$\psi\bigl([x_0,x_1,x_2],[y_0,y_1,y_2]\bigr) = 
       [x_0y_0,x_0y_1, \dots,x_iy_j,\dots,x_2y_2].$$
\end{enumerate}

\a Sei $f:M\to N$ eine glatte Abbbildung zwischen differenzierbaren
Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$. Vektorfelder $X^M\in \Gamma(M)$ und 
$X^N\in \Gamma(N)$ hei\ss{}en \emph{$f$-verwandt}, falls 
  $$df(X^M_p)=X^N_{f(p)}.$$
Seien nun $X^M,Y^M\in \Gamma(M)$ und $X^N,Y^N\in \Gamma(N)$. Zeigen Sie, dass
wenn sowohl $X^M$ und $X^N$ als auch $Y^M$ und $Y^N$ $f$-verwandt sind,
dann sind $[X^M,Y^M]$ und  $[X^N,Y^N]$ ebenfalls $f$-verwandt.

%\a
%Zeigen Sie, dass die Lie-Klammer unter Diffeomorphismen erhalten bleibt, 
%d.h.\ sei $\phi:M\to N$ ein Diffeomorphismus zwischen Mannigfaltigkeiten
%und seien $X$ und $Y$ Vektorfelder auf $M$, so gilt
%  $$[d\phi(X),d\phi(Y)]=d\phi ([X,Y]).$$

\a
Sei $X$ ein glattes Vektorfeld auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
$M$, sei $p\in M$. 
\begin{enumerate}[(a)]
\item Zeigen Sie, dass es ein offenes Intervall $(a,b)\ni 0$ und eine
glatte Kurve $c:I\to M$ gibt, so dass
  $$X_{c(t)}= \dot c (t) \qquad \forall t\in (a,b)$$
und $c(0)=p$.
\emph{Tipp: \"Ubersetzen Sie die Bedingung in eine Karte und wenden Sie den Satz von Picard-Lindel\"of an.}
\item Sei $M$ kompakt. Zeigen Sie, dass man dann $(a,b)=\mR$ w\"ahlen kann.
\item Gilt (b) auch, falls $M$ nicht kompakt? Begr\"unden Sie Ihre Antwort durch einen Beweis bzw.\ durch ein Gegenbeispiel.  
\end{enumerate}
\emph{Definition f\"ur Aufgabe 4:}
Die Kurve $c$ aus Aufgabe 3 hei\ss{}t \emph{Intergalkurve von $X$}.

\newpage
\a Sei $G$ eine Gruppe und gleichzeitig eine Mannigfaltigkeit, 
so dass Multiplikation $G\times G\to G, (g,h)\mapsto g\cdot h$ und 
Inversen-Abbildung $G\to G, g\mapsto g^{-1}$ differenzierbare 
Abbildungen sind. F\"ur $g\in G$ seien $l_g:G\to G$ und $r_g:G\to G$ die 
Links- und die Rechts-Multiplikation mit $g$, d.h. $l_g(h)=g\cdot h$ und 
$r_g(h)=h\cdot g$.
Wir nennen $G$ eine \emph{Lie-Gruppe}.
Ein Vektorfeld auf $G$ hei\ss{}t linksinvariant, falls 
  $$dl_g(X)=X$$
f\"ur alle $g\in G$.

Zeigen Sie:
\begin{enumerate}[(1)]
\item Linksinvariante Vektorfelder sind glatt, 
und zu jedem $x\in T_eG$ gibt es genau ein linksinvariantes 
Vektorfeld $X$ auf $G$ mit $X(e)=x$.
\item Sei $X$ ein linksinvariantes Vektorfeld. Dann gibt es zu jedem $p\in G$
eine auf $\mR$ definierte Integralkurven $c$ von $X$ mit $c(0)=p$.
\item Von nun an identifizieren wir $T_e{\rm GL}(n,\mR)$ 
mit den linksinvarianten Vektorfeldern. Die Lie-Klammer von den 
linksinvarianten Vektorfeldern 
$[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$ definiert also eine bilineare Abbildung
$T_e{\rm GL}(n,\mR)\times T_e{\rm GL}(n,\mR)\to T_e{\rm GL}(n,\mR)$.
Auf der Menge der reellen 
quadratischen $n\!\times\! n$\,--\,Matrizen ${\rm Mat}(n,n,\mR)$ definieren wir
die Lie-Klammer $[A,B]_M:=AB-BA$ f\"ur alle $A,B\in {\rm Mat}(n,n,\mR)$. 
Konstruieren Sie einen Vektorraumisomorphismus 
${I:{\rm Mat}(n,n,\mR)\to T_e{\rm GL}(n,\mR)}$, so dass
  $$[I(A),I(B)]=I([A,B]_M).$$ 
\item Was \"andert sich, wenn \"uberall linksinvariante Vektorfelder durch
rechtsinvariante Vektorfelder ersetzt werden?
%\item Sei $G={\rm GL}(n,\mR)$ und sei $X$ ein linksinvariantes Vektorfeld.
%Berechnen Sie die Integralkurven von $X$.
\end{enumerate}

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Donnerstag, 13.5.2004 vor der Vorlesung\\
Geben Sie bitte Ihren Namen auf ihren L\"osungen an und heften Sie bitte alle
Bl\"atter zusammen.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-bonn.de/people/ammann/uebungen}
\end{document}
















