Übungen zur Vorlesung ”Semi-Riemannsche Geometrie“ Bernd Ammann, SS 2004 Blatt 4 6. Mai 2004

1 Wir schreiben für die Äquivalenzklasse (x_{0}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n+1} \ {0} kurz [x_{0}, …, x_{n}]. Zeigen Sie, dass folgende Abbildungen wohldefiniert und glatt sind:

(a) Veronese-Abbildung: φ : ℝP^{2} → ℝP^{5}, φ([x_{0}, x_{1}, x_{2}]) = [x_{0}^{2}, x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, x_{0}x_{1}, x_{0}x_{2}, x_{1}x_{2}].

(b) Segre-Abbildung: ψ : ℝP^{2} × ℝP^{2} → ℝP^{8},

ψ([x_{0}, x_{1}, x_{2}], [y_{0}, y_{1}, y_{2}]) = [x_{0}y_{0}, x_{0}y_{1}, …, x_{i}y_{j}, …, x_{2}y_{2}].

2 Sei f : M → N eine glatte Abbbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten M und N. Vektorfelder X^{M} ∈ Γ(M) und X^{N} ∈ Γ(N) heißen f-verwandt, falls

df(X_{p}^{M}) = X_{f(p)}^{N}.

Seien nun X^{M}, Y^{M} ∈ Γ(M) und X^{N}, Y^{N} ∈ Γ(N). Zeigen Sie, dass wenn sowohl X^{M} und X^{N} als auch Y^{M} und Y^{N} f-verwandt sind, dann sind [X^{M}, Y^{M}] und [X^{N}, Y^{N}] ebenfalls f-verwandt.

3 Sei X ein glattes Vektorfeld auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M, sei p ∈ M.

(a) Zeigen Sie, dass es ein offenes Intervall (a, b) ∋ 0 und eine glatte Kurve c : I → M gibt,

so dass

X_{c(t)} = ċ(t) ∀t ∈ (a, b)

und c(0) = p. Tipp: Übersetzen Sie die Bedingung in eine Karte und wenden Sie den Satz von Picard-Lindelöf an.

(b) Sei M kompakt. Zeigen Sie, dass man dann (a, b) = ℝ wählen kann.

(c) Gilt (b) auch, falls M nicht kompakt? Begründen Sie Ihre Antwort durch einen Beweis bzw. durch ein Gegenbeispiel.

Definition für Aufgabe 4: Die Kurve c aus Aufgabe 3 heißt Intergalkurve von X.

4 Sei G eine Gruppe und gleichzeitig eine Mannigfaltigkeit, so dass Multiplikation G × G → G, (g, h) ↦ g · h und Inversen-Abbildung G → G, g ↦ g^{−1} differenzierbare Abbildungen sind. Für g ∈ G seien l_{g} : G → G und r_{g} : G → G die Links- und die Rechts-Multiplikation mit g, d.h. l_{g}(h) = g · h und r_{g}(h) = h · g. Wir nennen G eine Lie-Gruppe. Ein Vektorfeld auf G heißt linksinvariant, falls

dl_{g}(X) = X

für alle g ∈ G. Zeigen Sie:

(1) Linksinvariante Vektorfelder sind glatt, und zu jedem x ∈ T_{e}G gibt es genau ein linksinvariantes Vektorfeld X auf G mit X(e) = x.

(2) Sei X ein linksinvariantes Vektorfeld. Dann gibt es zu jedem p ∈ G eine auf ℝ definierte Integralkurven c von X mit c(0) = p.

(3) Von nun an identifizieren wir T_{e}GL(n, ℝ) mit den linksinvarianten Vektorfeldern. Die Lie-Klammer von den linksinvarianten Vektorfeldern [ · , ·] definiert also eine bilineare Abbildung T_{e}GL(n, ℝ) × T_{e}GL(n, ℝ) → T_{e}GL(n, ℝ). Auf der Menge der reellen quadratischen n × n – Matrizen Mat(n, n, ℝ) definieren wir die Lie-Klammer [A, B]_{M} := AB − BA für alle A, B ∈ Mat(n, n, ℝ). Konstruieren Sie einen Vektorraumisomorphismus I : Mat(n, n, ℝ) → T_{e}GL(n, ℝ), so dass

[I(A), I(B)] = I([A, B]_{M}).

(4) Was ändert sich, wenn überall linksinvariante Vektorfelder durch rechtsinvariante Vektorfelder ersetzt werden?

Abgabe: Donnerstag, 13.5.2004 vor der Vorlesung Geben Sie bitte Ihren Namen auf ihren Lösungen an und heften Sie bitte alle Blätter zusammen.

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