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\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Semi-Riemannsche Geometrie"'\\Bernd Ammann, SS 2004}

    Blatt 3  \hfill  29.\ April 2004}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}


\a Sei $K=\mR$ oder $K=\mC$.
F\"ur zwei Vektoren $x,y\in K^{n+1}\setminus\{0\}$ definieren wir:
$x$ und $y$ hei\ss{}en \"aquivalent, 
falls es ein $\lambda\in K\setminus \{0\}$ gibt mit $x=\lambda y$.
Die \"Aquivalenzklasse von $x$ bezeichnen wir mit $[x]$.
Der \emph{projektive Raum $K P^n$} sei die Menge aller 
\"Aquivalenzklassen, also  $K P^n:=\{[x]\,|\,x\in K^{n+1}\setminus\{0\}\}$. 
Wir versehen $K P^n$ mit der Quotiententopologie.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Zeigen Sie, dass $K P^n$ f\"ur $K=\mR$ und $K=\mC$ hausdorffsch ist 
und eine abz\"ahlbare Basis der Topologie hat.
\item Sei $K=\mR$. F\"ur $j\in \{0,\ldots, n\}$ sei 
$U_j:=\{[x]\,|\,x=(x_0,\ldots,x_n)\in\mR^{n+1}, \; x_j\neq 0\}$. Wir definieren $\phi_j:U_j\to \mR^n$
  $$\phi_j([x_0,\ldots,x_n]:={1\over x_j}(x_0,\ldots,\widehat{x_j},\ldots,x_n).$$
Hierbei bedeutet die Notation $\widehat{x_j}$, dass der Eintrag mit $x_j$ 
weggelassen wird.
Zeigen Sie, dass die Abbildungen $\phi_j$ wohldefiniert sind und einen 
glatten Atlas auf $\mR P^n$ definieren. 
\item Zeigen Sie, dass die Abbildung $f:S^n\to \mR P^n$, $x\mapsto [x]$ 
glatt ist, und dass f\"ur alle $x\in S^n$ die Ableitung $df|_x$ invertierbar
ist.
\item Modifizieren Sie die Konstruktion in (b), um einen glatten Atlas 
auf $\mC P^n$ zu erhalten.
\end{enumerate}


\a Zeigen Sie, dass die Abbildung $i:\mR P^n\to \mR P^{n+1}$, $i([x])=[x]$ 
eine glatte Abbildung ist. Welchen Rang hat $df|_{[x]}$?
Zeigen Sie, dass $\mR P^{n+1}\setminus i(\mR P^n)$ diffeomorph zu 
$\mR^{n+1}$ ist.

\a 
\begin{enumerate}[(a)]
\item \emph{Lokaler Umkehrsatz}
Seien $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten. F\"ur ein $p\in M$ sei
$f:M\to N$ eine glatte Abbildung, so dass $df|_p:T_pM\to T_{f(p)}N$
ein Isomorphismus ist. Zeigen Sie, dass es eine offene Umgebung $U$ von $p$ 
gibt, so dass $f(U)$ offen ist 
und so dass $f:U\to f(U)$ ein Diffeomorphismus ist.
\item \emph{Satz \"uber implizite Funktionen} 
Seien $M^n$ und $N^m$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten, 
und $f:M\to N$ eine glatte Abbildung. 
F\"ur ein $p\in M$ sei $df|_p$ surjektiv. Zeigen Sie, dass 
es eine Karte $\phi:U\to V\subset \mR^n$ von $M$ mit $p\in U$ gibt, so dass
  $$\phi\big(U\cap f^{-1}(f(p)\big)=V\cap \mR^{m-n}.$$
\end{enumerate}

\newpage
\a Zwei Vektoren $x,y\in \mR^n$ hei\ss{}en \"aquivalent, falls
$x-y\in \mZ^n$. Wir versehen ${T^n:=\{[x]\,|\,x\in \mR^n\}}$ mit der 
Quotienten-Topologie. Zeigen Sie, dass $T^n$ ein Hausdorffraum ist, dessen 
Topologie eine abz\"ahlbare Basis tr\"agt. 
Zeigen Sie, dass es genau eine differenzierbare Struktur auf 
$T^n$ gibt, so dass die Projektion $\pi:\mR^n\to T^n$ glatt ist und die 
Ableitung $d\pi|_p$ f\"ur alle $p\in \mR^n$ invertierbar ist.
\emph{(Tipp: Nutzen Sie den lokalen Umkehrsatz, um die Eindeutigkeit 
der differenzierbaren Struktur zu zeigen.)} 

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Donnerstag, 6.5.2004 vor der Vorlesung\\
Geben Sie bitte Ihren Namen auf ihren L\"osungen an und heften Sie bitte alle
Bl\"atter zusammen.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-bonn.de/people/ammann/uebungen}
\end{document}
















