Übungen zur Vorlesung ”Semi-Riemannsche Geometrie“ Bernd Ammann, SS 2004 Blatt 3 29. April 2004

1 Sei K = ℝ oder K = ℂ. Für zwei Vektoren x, y ∈ K^{n+1} \ {0} definieren wir: x und y heißen äquivalent, falls es ein λ ∈ K \ {0} gibt mit x = λy. Die Äquivalenzklasse von x bezeichnen wir mit [x]. Der projektive Raum KP^{n} sei die Menge aller Äquivalenzklassen, also KP^{n} := {[x] | x ∈ K^{n+1} \ {0}}. Wir versehen KP^{n} mit der Quotiententopologie.

(a) Zeigen Sie, dass KP^{n} für K = ℝ und K = ℂ hausdorffsch ist und eine abzählbare Basis der Topologie hat.

(b) Sei K = ℝ. Für j ∈ {0, …, n} sei U_{j} := {[x] | x = (x_{0}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n+1}, x_{j} ≠ 0}. Wir definieren φ_{j} : U_{j} → ℝ^{n}

φ_{j}([x_{0}, …, x_{n}] := \frac{1}{x_{j}} (x_{0}, …, x̂_{j}, …, x_{n}).

Hierbei bedeutet die Notation x̂_{j}, dass der Eintrag mit x_{j} weggelassen wird. Zeigen Sie, dass die Abbildungen φ_{j} wohldefiniert sind und einen glatten Atlas auf ℝP^{n} definieren.

(c) Zeigen Sie, dass die Abbildung f : S^{n} → ℝP^{n}, x ↦ [x] glatt ist, und dass für alle x ∈ S^{n} die Ableitung df|_{x} invertierbar ist.

(d) Modifizieren Sie die Konstruktion in (b), um einen glatten Atlas auf ℂP^{n} zu erhalten.

2 Zeigen Sie, dass die Abbildung i : ℝP^{n} → ℝP^{n+1}, i([x]) = [x] eine glatte Abbildung ist. Welchen Rang hat df|_{[x]}? Zeigen Sie, dass ℝP^{n+1} \ i(ℝP^{n}) diffeomorph zu ℝ^{n+1} ist.

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(a) Lokaler Umkehrsatz Seien M und N differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Für ein p ∈ M sei f : M → N eine glatte Abbildung, so dass df|_{p} : T_{p}M → T_{f(p)}N ein Isomorphismus ist. Zeigen Sie, dass es eine offene Umgebung U von p gibt, so dass f(U) offen ist und so dass f : U → f(U) ein Diffeomorphismus ist.

(b) Satz über implizite Funktionen Seien M^{n} und N^{m} differenzierbare Mannigfaltigkeiten, und f : M → N eine glatte Abbildung. Für ein p ∈ M sei df|_{p} surjektiv. Zeigen Sie, dass es eine Karte φ : U → V ⊂ ℝ^{n} von M mit p ∈ U gibt, so dass

φ(U ∩ f^{−1}(f(p)) = V ∩ ℝ^{m−n}.

4 Zwei Vektoren x, y ∈ ℝ^{n} heißen äquivalent, falls x − y ∈ ℤ^{n}. Wir versehen T^{n} := {[x] | x ∈ ℝ^{n}} mit der Quotienten-Topologie. Zeigen Sie, dass T^{n} ein Hausdorffraum ist, dessen Topologie eine abzählbare Basis trägt. Zeigen Sie, dass es genau eine differenzierbare Struktur auf T^{n} gibt, so dass die Projektion π : ℝ^{n} → T^{n} glatt ist und die Ableitung dπ|_{p} für alle p ∈ ℝ^{n} invertierbar ist. (Tipp: Nutzen Sie den lokalen Umkehrsatz, um die Eindeutigkeit der differenzierbaren Struktur zu zeigen.)

Abgabe: Donnerstag, 6.5.2004 vor der Vorlesung Geben Sie bitte Ihren Namen auf ihren Lösungen an und heften Sie bitte alle Blätter zusammen.

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