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  pdfauthor={Bernd Ammann},
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\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Semi-Riemannsche Geometrie"'\\Bernd Ammann, SS 2004}

    Blatt 2  \hfill  21.\ April 2004}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\a Die folgenden Menge seien mit der Relativtopologie von $\mR$ bzw. $\mR^2$ 
versehen. Welche dieser Mengen sind topologische Mannigfaltigkeiten? 
Begr\"unden Sie warum. Was ist die Dimension der topologischen 
Mannigfaltigkeiten? 
\begin{enumerate}[(a)]
\item Das offene Intervall $(0,1)$.
\item Das abgeschlossene Intervall $[0,1]$.
\item Das offene Quadrat $(0,1)\times (0,1)$.
\item Das abgeschlossene Quadrat $[0,1]\times [0,1]$ .
\item Der Rand des Quadrats $\partial ([0,1]\times [0,1])$.
\item Das Kreuz $(-1,1)\times \{0\}\cup \{0\}\times (-1,1)$
\end{enumerate}

\a Seien $\cA^1=\{\phi_i\}_{i\in I}$ und $\cA^2=\{\phi_i\}_{i\in J}$
zwei glatte Atlanten auf $M$. Zeigen Sie, dass 
$\cA^1\cup \cA^2=\{\phi_i\}_{i\in I\cup J}$ genau
dann ein glatter Atlas auf $M$ ist, falls 
$(\cA^1)_{\rm max}= (\cA^2)_{\rm max}$.

\a
Ein topologischer Raum $(X,\cO)$ hei"st \emph{zusammenh"angend},
falls er \textbf{nicht} in zwei disjunkte offene nichtleere Teilmengen zerlegt
werden kann,
d.\,h. aus $X = U_1 \cup U_2$, $U_i \in \cO$, $U_1 \cap U_2 = \emptyset$,
folgt $U_1 = \emptyset$ oder $U_2 = \emptyset$.
Er hei"st \emph{wegzusammenh"angend}, falls sich je zwei Punkte $p,q \in X$
durch einen stetigen Weg verbinden lassen, d.\,h. es gibt eine stetige
Abbildung $c:[0,1] \to X$ mit $c(0) = p$ und $c(1) = q$.

Zeigen Sie, dass eine topologische Mannigfaltigkeit genau dann zusammenh"angend
ist, wenn sie wegzusammenh"angend ist.

\a Konstruieren Sie einen topologischen Raum, der eine 
Topologie mit abz\"ahlbarer Basis tr\"agt und lokal hom\"oomorhp zu $\mR^n$ 
ist, der aber nicht hausdorffsch ist.
{(\it Tipp: Nehmen Sie $\mR$ und verdoppeln Sie die Null.)}

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Donnerstag, 29.04.04 vor der Vorlesung\\
Bitte geben Sie Ihren Namen auf ihren L\"osungen an und heften Sie alle
Bl\"atter zusammen.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-bonn.de/people/ammann/uebungen}
\end{document}
















