Übungen zur Vorlesung ”Semi-Riemannsche Geometrie“ Bernd Ammann, SS 2004 Blatt 2 21. April 2004

1 Die folgenden Menge seien mit der Relativtopologie von ℝ bzw. ℝ^{2} versehen. Welche dieser Mengen sind topologische Mannigfaltigkeiten? Begründen Sie warum. Was ist die Dimension der topologischen Mannigfaltigkeiten?

(a) Das offene Intervall (0, 1).

(b) Das abgeschlossene Intervall [0, 1].

(c) Das offene Quadrat (0, 1) × (0, 1).

(d) Das abgeschlossene Quadrat [0, 1] × [0, 1] .

(e) Der Rand des Quadrats ∂([0, 1] × [0, 1]).

(f) Das Kreuz (−1, 1) × {0} ∪ {0} × (−1, 1)

2 Seien A^{1} = {φ_{i}}_{i∈I} und A^{2} = {φ_{i}}_{i∈J} zwei glatte Atlanten auf M. Zeigen Sie, dass A^{1}∪A^{2} = {φ_{i}}_{i∈I∪J} genau dann ein glatter Atlas auf M ist, falls (A^{1})_{max} = (A^{2})_{max}.

3 Ein topologischer Raum (X, O) heißt zusammenhängend, falls er nicht in zwei disjunkte offene nichtleere Teilmengen zerlegt werden kann, d. h. aus X = U_{1}∪U_{2}, U_{i} ∈ O, U_{1}∩U_{2} = ∅, folgt U_{1} = ∅ oder U_{2} = ∅. Er heißt wegzusammenhängend, falls sich je zwei Punkte p, q ∈ X durch einen stetigen Weg verbinden lassen, d. h. es gibt eine stetige Abbildung c : [0, 1] → X mit c(0) = p und c(1) = q. Zeigen Sie, dass eine topologische Mannigfaltigkeit genau dann zusammenhängend ist, wenn sie wegzusammenhängend ist.

4 Konstruieren Sie einen topologischen Raum, der eine Topologie mit abzählbarer Basis trägt und lokal homöomorhp zu ℝ^{n} ist, der aber nicht hausdorffsch ist. (Tipp: Nehmen Sie ℝ und verdoppeln Sie die Null.)

Abgabe: Donnerstag, 29.04.04 vor der Vorlesung Bitte geben Sie Ihren Namen auf ihren Lösungen an und heften Sie alle Blätter zusammen.

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