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\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Semi-Riemannsche Geometrie"'\\Bernd Ammann, SS 2004}

    Blatt 1  \hfill  20.\ April 2004}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\a
Bilden Sie f\"ur~$A\subset\mR$ das Innere und den Abschluss,
und zwar bzgl.\ der Standardtopologie, der diskreten Topologie
und der Klumpentopologie auf~$\mR$, wobei
\begin{enumerate}[(a)]
\item $A=[0,1]$,
\item $A=(0,1)$,
\item $A=\mZ$,
\item $A=\mQ$.
\end{enumerate}

\a
Es tragen $\mR^n$ und $\mR^m$ die Standardtopologien.

Zeigen Sie, dass die Produkttopologie auf
$\mR^n\times \mR^m=\mR^{n+m}$ mit der Standardtopologie \"ubereinstimmt.

\a
Sei $(X,\cO)$ ein topologischer Raum, "`$\sim$"' eine \"Aquivalenzrelation
auf $X$, $X/\sim=\left\{[x]\,|\,x\in X\right\}$ sei die Menge der \"Aquivalenzklassen,
$\pi:X\to X/\sim$, $\pi(x)=[x]$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Zeigen Sie, dass die Quotiententopologie $\cO '$ auf $X/\sim$
tats\"achlich eine Topologie ist.
\item Zeigen Sie: $\pi:X\to X/\sim$ ist stetig.
\item
Sei $(Y,\cO_Y)$ ein weiterer topologischer Raum und $f:X/\sim\;\to Y$ eine Abbildung.
Zeigen Sie:
  $$f:X/\sim \;\to Y \mbox{ ist stetig }\quad\LRA\quad f\circ \pi: X\to Y\mbox{ ist stetig.}$$
\item Sei $X=[0,1]\subset \mR$ mit der Standardtopologie.
Wir definieren
  $$s\sim t \quad\LRA\quad\left\{ 
    \begin{array}{l}
         s=t \mbox{ oder }\\
         s=0 \mbox{ und } t=1,\mbox{ oder}\\
         s=1 \mbox{ und } t=0.
    \end{array}
  \right.$$
Zeigen Sie: $[0,1]/\sim$ mit der Quotiententopologie ist hom\"oomorph 
zu $S^1=\{(x,y)\in \mR^2\,|\,x^2+y^2=1\}$ mit der Standardtopologie.
\end{enumerate}

\newpage
\a
 Sei~$(X,{\cal O}_X)$ ein Hausdorff-Raum, sei~$p$ ein weiterer Punkt,
$p\notin X$.
Setze~$X^+:=X\cup\{p\}$. Wir definieren
	$${\cal O}_{X^+}
	:={\cal O}_X\cup\bigl\{\,(X\setminus K)\cup\{p\}
			\bigm|K\subset X\hbox{ kompakt}\,\bigr\}\;.$$
Zeigen Sie:
\begin{enumerate}[(1)]
\item $(X^+,{\cal O}_{X^+})$ ist ein topologischer Raum.
\item $X^+$ ist kompakt.
\item $X^+$ ist Hausdorffsch genau dann, wenn $X$ {\em lokalkompakt} ist, d.\thinspace h.\ 
jeder Punkt in $x$ besitzt eine kompakte Umgebung.
\item $(-1,1)^+$ ist hom\"oomorph zu~$S^1$.
\end{enumerate}
Man nennt $X^+$ die {\em Ein-Punkt-Kompaktifizierung} von~$X$.

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Freitag, 23.04.04 \\
Bitte geben Sie Ihren Namen auf ihren L\"osungen an und heften Sie alle
Bl\"atter zusammen.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-bonn.de/people/ammann/uebungen}
\end{document}
















