Übungen zur Vorlesung ”Semi-Riemannsche Geometrie“ Bernd Ammann, SS 2004 Blatt 1 20. April 2004

1 Bilden Sie für A ⊂ ℝ das Innere und den Abschluss, und zwar bzgl. der Standardtopologie, der diskreten Topologie und der Klumpentopologie auf ℝ, wobei

(a) A = [0, 1],

(b) A = (0, 1),

(c) A = ℤ,

(d) A = ℚ.

2 Es tragen ℝ^{n} und ℝ^{m} die Standardtopologien.

Zeigen Sie, dass die Produkttopologie auf ℝ^{n} × ℝ^{m} = ℝ^{n+m} mit der Standardtopologie übereinstimmt.

3 Sei (X, O) ein topologischer Raum, ”∼“ eine Äquivalenzrelation auf X, X/ ∼= {[x] | x ∈ X} sei die Menge der Äquivalenzklassen, π : X → X/ ∼, π(x) = [x].

(a) Zeigen Sie, dass die Quotiententopologie O′ auf X/ ∼ tatsächlich eine Topologie ist.

(b) Zeigen Sie: π : X → X/ ∼ ist stetig.

(c) Sei (Y, O_{Y}) ein weiterer topologischer Raum und f : X/ ∼ → Y eine Abbildung. Zeigen

Sie:

f : X/ ∼ → Y ist stetig ⇔ f ∘ π : X → Y ist stetig.

(d) Sei X = [0, 1] ⊂ ℝ mit der Standardtopologie. Wir definieren

s ∼ t ⇔ \{ \begin{matrix}s = t oder \\ s = 0 und t = 1, oder \\ s = 1 und t = 0. \end{matrix}

Zeigen Sie: [0, 1]/ ∼ mit der Quotiententopologie ist homöomorph zu S^{1} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} = 1} mit der Standardtopologie.

4 Sei (X, O_{X}) ein Hausdorff-Raum, sei p ein weiterer Punkt, p ∉ X. Setze X^{+} := X ∪ {p}.

Wir definieren

O_{X^{+}} := O_{X} ∪ { (X \ K) ∪ {p} | K ⊂ X kompakt } .

Zeigen Sie:

(1) (X^{+}, O_{X^{+}}) ist ein topologischer Raum.

(2) X^{+} ist kompakt.

(3) X^{+} ist Hausdorffsch genau dann, wenn X lokalkompakt ist, d. h. jeder Punkt in x besitzt eine kompakte Umgebung.

(4) (−1, 1)^{+} ist homöomorph zu S^{1}.

Man nennt X^{+} die Ein-Punkt-Kompaktifizierung von X.

Abgabe: Dienstag, 27.04.04 vor der Vorlesung Bitte geben Sie Ihren Namen auf ihren Lösungen an und heften Sie alle Blätter zusammen.

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