Seminar über 3-Mannigfaltigkeiten und Knoten

Sommersemester 2004

Dr. Bernd Ammann

Vortrag 1. Knoten, Isotopien, Reidemeister-Bewegungen. Einführende Definitionen, insbesondere Isotopien, ambiente Isotopien, jeweils in stetigen und in der stückweise linearen Version, zahme und wilde Knoten, Knoten-Projektionen, Reidemeister-Bewegungen [2, Chapter 1, A bis C], [1, §1].

Vortrag 2. Klammer-Polynom, Kauffmann-Polynom, Jones-Polynom. [1, §3]. Weitere Literatur [4].

Vortrag 3. Vassiliev-Invarianten. [1, §4]

Ergänzungs-Vortrag 1. Die Zopf-Gruppe. Evtl. zwei Sitzungen: 1.) Gruppenstruktur, Erzeuger, Artinsche Relationen, Wort-Problem, Alexanders Verzopfungstheorem [1, §5.1-§6.5] 2.) Markov-Bewegungen, reine Zöpfe, [1, §6.8-§7.6]

Vortrag 4. Heegaard-Splitting 1. Heegaard-Splitting für Mannigfaltigkeiten ohne Rand, und mit Rand [1, §8-§9]

Vortrag 5. Heegaard-Splitting 2. Heegaard-Diagramme, das Beispiel Linsenraum [1, §10-§11]

Vortrag 6. Homöomorphismen von Flächen. Dehn-Lickorish-Theorem: Jeder orientierungserhaltende Homöomorphismus einer Fläche kann man als Verkettung von ”Dehn-Twists“ erhalten. Hieraus folgt, dass man jede orientierte kompakte 3-Mannigfaltigkeit durch Chirurgie an einem Knoten aus der Sphäre erhält. [1, §12-13]

Vortrag 7. Chirurgie von 3-Mannigfaltigkeiten. Die bereits benutzte Technik, neue 3-Mannigfaltigkeiten aus alten durch Chirurgie zu erhalten, wird weiter verfeinert. Gegenstände des Vortrags sind [1, §14-16]

Vortrag 8. Linsenräume und Homologiesphären. Wir wollen nun einige wichtige Beispiele diskutieren [1, §17-18]

Ergänzungs-Vortrag 2. Kirby-Kalkül. [1, §19]

Ergänzungs-Vortrag 3. Verzweigte Überlagerungen. Evtl. Übersichtsvortrag oder 2 Vorträge [1, §20-25]

Ergänzungs-Vortrag 4. Skein-Invarianten. Evtl. Übersichtsvortrag oder 2 Vorträge [1, §26-29] Homepage:

       http://www.math.uni-bonn.de/people/ammann/seminar

Literatur

[1] Prasolov, Sossinsky, ”Knots, Links, Braids and 3-Manifolds“, AMS 154 [2] Burde, Zieschang, ”Knots“, de Gruyter, 1985

[3] Bär, ”Elementare Differentialgeometrie“, de Gruyter ≥ 2000

[4] de la Harpe, Kervaire, Weber, On the Jones Polynomial, Ens. Math. 32, 1986, 271–335

[5] Kauffmann, ”Knots and Physics“, World Scientific