Seminar in Differentialgeometrie, Morsetheorie


Prof. Uwe Semmelmann, Dr. Bernd Ammann

Di, 12-14, Geom 430

Vorbesprechung: Di 22.10.02
Veranstaltungsnummer: 11.502
Web-Seite: www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/dgsem

Sei f:M->R; eine glatte Funktion auf einer kompakten Mannigfaltigkeit M. Die Morse-Theorie studiert die Beziehung zwischen kritischen Punkten von f und der Topologie von M. Wir erhalten eine anschauliche Methode, wie wir komplizierte Mannigfaltgkeiten in einfache Teilstücke zerschneiden können, oder anders ausgedrückt, wir erhalten eine Methode, mit der wir durch Aneinanderkleben von Kreisscheiben beliebige Mannigfaltigkeiten erhalten können. (Hier ist ein Link zu einem schönen Bild.)
Die Morse-Theorie hat wichtige Anwendungen in der Differentialgeometrie und Topologie, zum Beispiel die höher-dimensionale Poincare-Vermutung; Bott-Periodizität für klassische Gruppen; Existenzsätze für geschlossene Geodäten; Topologie von Stein-Mannigfaltigkeiten.
Die grundlegenden Sätze der Morse-Theorie (Kapitel 1-7 in Milnors Buch) werden in den ersten Vorträgen erarbeitet. Die weiteren Vorträge sind Anwendungen gewidmet.
Vorkenntnisse: Analysis I-III, Lineare Algebra I. Differentialgeometrie I wird im Laufe des Seminars gebraucht werden. Das Seminar ist aber auch für die Hörer der Vorlesung Differentialgeometrie I von Prof. Semmelmann zu empfehlen.

Scheinkriterien

Regelmäßige Seminarteilnahme und mindestens einmal vortragen.

Vortragsplan

1. Vortrag
29.10.02
Definitions, Morse Lemma
(Quelle: [Mi1] Kapitel I, S. 4--13)
2. Vortrag
5.11.02
Homotopy Type in Terms of Critical Values
(Quelle: [Mi1] Kapitel I, S. 14--24)
3.Vortrag
12.11.02
Examples, Morse inequalities
(Quelle: [Mi1], Kapitel I, S. 25-31
4.Vortrag
26.11.02
Existence of Morse functions
(Quelle: [Mi1], Kapitel I, S. 32-38 )
5.Vortrag
3.12.02
Lefschetz Theorem
(Quelle: [Mi1], Kapitel I, S. 39-42)
Review of Riemannian Geometry, Geodesics and Completeness
(Quelle: [Mi1], Kapitel II, S. 43--66)
6.Vortrag
10.12.02
Path Space of a Manifold, Energy, Hessian of the Energy Functional
(Quelle: [Mi1], Kapitel III, S. 67 -- 82 )
7.Vortrag
17.12.02
Morse Index Theorem, Topology of Path Spaces
(Quelle: [Mi1], Kapitel III, S. 83--97 )
8. Vortrag

Topology und Curvature
(Quelle: [Mi1], Kapitel III, S. 98 -- 108)
9. Vortrag
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Symmetric Spaces and Lie Groups
(Quelle: [Mi1], Kapitel IV, S. 109 -- 123)
10. Vortrag
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The Bott Periodicity Theorem for the Unitary Group
(Quelle: [Mi1], Kapitel IV, S. 124-- 132 )
11. Vortrag
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The Bott Periodicity Theorem for the Orthogonal Group
(Quelle: [Mi1], Kapitel IV, S. 133-- 146 )



Literatur:

[Mi1] J. Milnor Morse Theory
Princeton University Press (1963)



Ergänzende Literatur:

[Mat] Y. Matsumoto, An Introduction to Morse Theory, AMS, Translations of mathematical Monographs, vol. 208

Weiterer Ausblick

Zum Abschluss wollen wir noch erwähnen, dass neuere Forschungsarbeiten morse-theoretische Methoden nutzen, um Lösungen für partielle Differentialgleichungen zu erhalten. Die Morse-Theorie ist somit ein Bindeglied zwischen algebraischer Topologie und der Theorie der Partiellen Differentialgleichungen. Wir werden diese Arbeiten aber nicht im Rahmen des Seminars behandeln können.