11.409: Analysis auf Mannigfaltigkeiten

Veranstalter: Bernd Ammann

Inhalt: In dieser Vorlesung wollen wir elliptische Diferentialoperatoren auf kompakten Mannigfaltigkeiten untersuchen. Wichtige Beispiele sind der Laplace-Operator auf Funktionen, der Laplace-Operator auf Formen, der Dirac-Operator (Spin-Geometrie) und der Dolbeault-Operator (komplexe Geometrie). Diese Operatoren haben endlich-dimensionale Kerne, was uns erlaubt, eine wichtige Invariante zu definieren, den Index dieser Operatoren. Wir wollen dann einen Satz von Atiyah und Singer zeigen, der besagt, dass diese Invariante mit einer topologischen Größe, dem Â-Geschlecht übereinstimmt. Dieser Satz hatte so große Auswirkungen auf die Topologie und Analysis, dass Atiyah für diesen Satz die Fields-Medaille bekam. Als Anwendungen sehen wir dann zum Beispiel ein wichtiges Kriterium dafür, welche kompakten Mannigfaltigkeiten eine riemannsche Metrik mit positiver Skalarkrümmung tragen.

Ziel: Ziel ist ein besseres Verständnis des Zusammenspiels von Differentialgeometrie, Analysis und algebraischer Topologie.

Vorkenntnisse: Differentialgeometrie I und II. Die Vorlesung ist bestens geeignet für StudentInnen, die sich im Bereich der Differentialgeometrie und Globalen Analysis spezialisieren wollen, um in dieser Fachrichtung ihre Abschlussarbeit zu schreiben. Kenntnisse aus den Vorlesungen Partielle Differentialgleichungen und Algebraische Topologie sind hilfreich, werden aber nicht vorausgesetzt.

Literatur: John Roe, Elliptic operators, topology and asymptotic methods, Longman Scientific and technical. Lawson, Michelsohn, Spin Geometry, Princeton University Press.