Übungen zur Vorlesung ”Analysis auf Mannigfaltigkeiten“ im WS 2002/03 Blatt 7 12. Dezember 2002

1 Sei W ein Clifford-Bündel über der riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g). Sei D_{x} : Γ(W ⊠ W) → Γ(W ⊠ W) der Dirac-Operator in der 1. Komponente und D_{y} der Dirac-Operator in der 2. Komponente. Zeigen Sie:

(a) Die Norm

∥φ∥ := \sqrt{∑_{i=0}^{k} ∥D_{x}φ∥_{L^{2}(W ⊠W)}^{2} + ∑_{i=0}^{k} ∥D_{y}φ∥_{L^{2}(W ⊠W)}^{2}}

ist äquivalent zur Sobolev-k-Norm auf W^{k}(W ⊠ W).

(b) Sei M = S^{1} und W = Λ^{∗}T^{∗}M. Zeigen Sie, dass D_{x} + D_{y} einen unendlich-dimensionalen Kern besitzt.

(c) Sei (φ_{i} | i ∈ ℤ) eine Familie von L^{2}-orthonormale Eigenspinoren zu D zum Eigenwert λ_{i}, die eine Basis von L^{2}(W) bilden. Dann ist (φ_{i}(x)⊗φ_{j}(y) | i, j ∈ ℤ) eine L^{2}-orthonormale Basis von L^{2}(W ⊠ W).

Abgabe: bis Mittwoch, 18.12.02 oder spätestens am darauf folgenden Donnerstag.

http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/analysis