Musterlösung Blatt11

Aufgabe 4:

(a) Sei zunächst b_{i} < ∞ und b < ∞. Da γ_{i} minimale Geodätische sind, gilt

d(γ_{i}(0), γ_{i}(b_{i})) = b_{i}.

Aus ξ_{i} → ξ folgt γ_{i}(0) → γ(0) und γ_{i}(b_{i}) → γ(b). Auf Grund der Stetigkeit von d folgt dann auch

d(γ(0), γ(b)) = b,

d.h. wir haben Teil (a) für den Spezialfall b_{i} < ∞ und b < ∞ gezeigt. Man überlegt sich leicht, dass hieraus auch die Aussage für beliebige b_{i}, b ∈ (0, ∞] folgt.

(b) Sei π die Fußpunkt-Projektion T M → M (manchmal auch Basispunkt-Projektion genannt). Betrachte die Abbildung

ϕ = (exp, π) : T M → M × M, X ↦ ϕ(X) := (exp(X), π(X)).

Man überlege sich zunächst, dass der Kern von dϕ_{X} genau dann nicht leer ist, wenn π(X) zu exp(X) längs der Geodätischen

τ : [0, 1] → M, t ↦ exp tX

konjugiert ist. Da ϕ glatt ist, ist die Menge

S = {X ∈ T M | dϕ_{X} nicht invertierbar}

abgeschlossen. Da die Kurve γ : [0, b) → M eine minimale Geodätische ist, hat sie insbesondere auch keine konjugierten Punkte, d.h. für alle t ∈ (0, b) gilt tξ ∉ S. Wir wollen zeigen, dass es eine Folge b_{i} → b gibt, so dass

γ_{i} : [0, b_{i}] → M, γ_{i}(t) := exp(tξ_{i})

minimal ist, oder äquivalent, dass

lim inf c(ξ_{i}) ≥ b.

Nehmen wir also das Gegenteil an, d.h. es gibt eine Teilfolge mit c(ξ_{i}) → b_{∞} < b. Da die Menge S abgeschlossen ist, gibt es für fast alle i längs der Geodätischen γ_{i} : [0, c(ξ_{i})] → M, γ_{i}(t) := exp(tξ_{i}) keine konjugierten Punkte. Es gibt also eine Folge von η_{i} ∈ SM, so dass mit π(η_{i}) = π(ξ_{i}), ξ_{i} ≠ η_{i}, c(ξ_{i}) = c(η_{i}) und exp(c(η_{i})η_{i}) = exp(c(ξ_{i})ξ_{i}). Nach Übergang zu einer Teilfolge konvergieren η_{i} gegen einen Einheitsvektor η ∈ SM. Im Limes i → ∞ erhalten wir exp(b_{∞}ξ) = exp(b_{∞}η). Da wir b_{∞} < b angenommen haben, folgt hieraus η = ξ. Nach dem lokalen Umkehrsatz ist aber die Abbildung ϕ in einer Umgebung von ξ invertierbar, wegen ϕ(ξ_{i}) = ϕ(η_{i}) folgt hieraus

ξ_{i} = η_{i} für alle genügend großen i.

Dies ist ein Widerspruch.

(c) Zu zeigen ist, dass für alle ξ_{i}, ξ ∈ SM mit ξ_{i} → ξ gilt

lim c(ξ_{i}) = c(ξ). Aus Teil (a) folgt c(ξ) ≥ lim sup c(ξ_{i}) und aus Teil (b) folgt c(ξ) ≤ lim inf c(ξ_{i}).