Anwesenheitsübungen zur Vorlesung ”Diffgeo 2“ im SS 2002

1 Zeigen Sie, dass die Lie-Klammer unter Diffeomorphismen erhalten bleibt, d.h. sei φ : M → N ein Diffeomorphismus zwischen Mannigfaltigkeiten und seien X und Y Vektorfelder auf M, so gilt

[dφ(X), dφ(Y)] = dφ([X, Y]).

2 Sei M eine Mannigfaltigkeit und sei ∇ ein affiner Zusammenhang, d.h. er genüge Axiomen (i) bis (iv) des Levi-Civita-zusammenhangs (§8). Wir definieren für Vektorfelder

T (X, Y) := ∇_{X}Y − ∇_{Y} X − [X, Y].

Zeigen sie T ist ein Tensor. (Dieser Tensor heißt Torsion von ∇.)

3 Sei M eine Mannigfaltigkeiten mit zwei Riemannschen Metriken g_{1} und g_{2}. Seien X, Y Vektorfelder auf M

(1) Berechnen Sie

[X, Y]^{(M,g_{1})} − [X, Y]^{(M,g_{2})}

(2) Sei ∇^{(M,g_{i})} der Levi-Civita-Zusammenhang auf (M, g_{i}). Zeigen Sie

(X, Y) ↦ ∇_{X}^{(M,g_{1})}Y − ∇_{X}^{(M,g_{2})}Y

ist ein Tensor.

(3) Berechnen Sie

∇_{X}^{(M,g_{1})}Y − ∇_{X}^{(M,g_{2})}Y.

4 Sei G eine Gruppe und gleichzeitig eine Mannigfaltigkeit, so dass Multiplikation und Inversen-Abbildung differenzeirbare Abbildungen sind. Für g ∈ G sei l_{g} : G → G die Links-Multiplikation mit g, d.h. l_{g}(h) = g · h. Wir nennen G eine Lie-Gruppe. Ein Vektorfeld auf G heißt links-invariant, falls

dl_{g}(X) = X

für alle g ∈ G. Zeigen Sie

(1) Linksinvariante Vektorfelder sind glatt.

(2) Zu jedem x ∈ T_{e}G gibt es genau ein linksinvariantes Vektorfeld X auf G mit X(e) = x.

(3) Sei X ein linksinvariantes Vektorfeld. Der maximale Definitionsbereich der Integrallinien von X ist ℝ.

(4) Sei G = GL(n, ℝ) und seien [X, Y] linksinvariante Vektorfelder. Berechnen sie [X, Y].

(5) Sei G = GL(n, ℝ) und sei X ein linksinvariantes Vektorfeld. Berechnen Sie die Integralkurven von X.

http://www.math.uni-hamburg.de/home/baer/DiffGeo2/diffgeo2.html