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\begin{document}

{\large 
    {\bf "Musterl\"osung Funkt.theo.\ im  SS 2001}

    Dr.~Bernd Ammann, Universit\"at Hamburg

    Blatt 10  \hfill  12.\ Juni 2001}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\thea=3
\a Es sei $f(z):={1\over e^z-1}$ und $\sum_{k\in \mZ} a_k z^k$
die Laurent-Entwicklung von $f$ auf einer punkierten Kreisscheibe 
um den Nullpunkt. 
\begin{enumerate}[(a)]
\item Zeigen Sie: $a_{-k}=0$ f\"ur $k\geq 2$.
\item Bestimmen Sie die Koeffizienten $a_{-1}$ und $a_0$.
\item Zeigen Sie: $a_{2k}=0$ f\"ur $k\geq 1$. 
\item Zeigen Sie: F\"ur die Koeffizienten
mit ungeradem positivem Index gilt die folgende Rekursionsformel:
  $${1\over (2k+1)!}- {1\over 2\cdot (2k)!} + 
    \sum_{r=1}^k {a_{2r-1}\over (2k-2r+1)!}=0$$
\end{enumerate}

L\"osung:
Man sieht leicht, dass $f$ meromorph ist und in $0$ 
einen Pol erster Ordnung besitzt. Hieraus folgt $(a)$.

Es gilt 
  $$\sum_{n=-1}^\infty a_n z^n \cdot \sum_{s=1}^\infty {1\over s!} z^s= 1,$$
also f\"ur alle $m\in \mZ$
  $$\sum_{n+s=m, s\geq 1} a_n {1\over s!} = \de_{m0}.$$
In anderen Worten:
  $$\sum_{n=-1}^{m-1}a_n {1\over (m-n)!} = \de_{m0}.$$
Dies bedeutet f\"ur $m=0$: $a_{-1}=1$, und f\"ur $m=1$: $a_0=-(1/2)$.

Man sieht leicht, dass
  $$f(z)-{1\over z} + {1\over 2} = \sum_{n=1}^\infty a_n z^n$$
eine ungerade Funktion ist, woraus $(c)$ folgt.
Schliesslich setze man $m=2k$, $k\in \mN$.
Wir erhalten 
  $${1\over (2k+1)!} + {1 \over 2 (2k)!}+\sum_{n=1}^{2k-1}a_n {1\over (2k-n)!} = 0.$$
Wenn wir $n$ durch $2r-1$ substituieren, folgt die Rekursionsformel.

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Dienstag,  19.~Juni 2001 vor der Vorlesung\\
Bitte geben Sie Ihren Namen und Ihre Gruppennummer
auf Ihren L\"osungen an.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/ft}
\end{document}
















