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\input{makros}
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\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Funktionentheorie 1"' im  SS 2001}

    Dr.~Bernd Ammann, Universit\"at Hamburg

    Blatt 4  \hfill  24.\ April 2001}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\begin{quote}\em
\"Ubungsgruppen:\\ Gruppe 1 (Zeinstra), Geom 432, am Freitag 11.45--13.15 Uhr,\\
 Gruppe 2 (Kabel), Geom 435 am Freitag 12.30--14 Uhr.
\end{quote}

\thea=1
\a Sei $D:=\mC\setminus\left\{x\,|\,x\in \mathopen]-\infty,0]\right\}$. 
Sei $f:D\to \mC$ ein Zweig der Potenzfunktion $z\to z^{1/2}$ mit $f(1)=-1$,
d.h. $f:D\to \mC$ ist die eindeutige stetige Funktion, f\"ur die gilt
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\left(f(z)\right)^2=z$,
\item $f(1)=-1$.
\end{enumerate}
Entwickeln Sie $f$ als Potenzreihe im Punkte $i$, d.h. finden Sie ein 
$\al\in \mC[[X]]$ und ein $\ep>0$, so dass 
  $$\al(z)=f(i+z)$$
f\"ur alle $|z|<\ep$.

{\bf L\"osung:}\newline
Aus der reellen Analysis wissen wir f\"ur reelle $x\in ]-1,1[$
  $$f(x+1)=-\sqrt{1+x}=-1+{1\over 2}x- {1\cdot 3\over 2\cdot 4} x^2+ \dots
    = \sum_{n=0}^\infty b_n x^n$$
mit 
  $$b_n:=(-1)^{n+1}{(2n)!\over 2^{2n} \,(n!)^2}.$$
Setze $\be:=\sum_{n=0}^\infty b_n X^n$.

Es gilt $f(e^{it}x)=e^{it/2} f(x)$ f\"ur $t\in]-\pi,\pi[$ 
und $x>0$ (klar f\"ur $t=0$, f\"ur $t\neq 0$ folgt es aus der 
Stetigkeit von $f$ und obigen Eigenschaften.

Somit gilt
  $$f(i+ix)=f(i(1+x))= {1+i\over \sqrt{2}} f(1+x)={1+i\over \sqrt{2}}\be(x),$$
also schlie\ss{}lich 
  $$f(i+z)={1+i\over \sqrt{2}}\be(-iz)$$
f\"ur alle {\bf imagin\"aren} $z$ mit $|z|<1$. Insbesondere ist $\rho(\be)\geq 1$.
Der Identit\"atssatz f\"ur analytische Funktionen besagt nun, dass
  $$f(i+z)={1+i\over \sqrt{2}}\be(-iz)$$
sogar f\"ur alle $z$ mit $|z|<1$ gilt.

\vskip 5mm
\vspace\fill
\texttt{\small http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/ft}
\end{document}
















