Übungen zur Vorlesung ”Funktionentheorie 1“ im SS 2001 Dr. Bernd Ammann, Universität Hamburg Blatt 4 24. April 2001

Übungsgruppen:

Gruppe 1 (Zeinstra), Geom 432, am Freitag 11.45–13.15 Uhr, Gruppe 2 (Kabel), Geom 435 am Freitag 12.30–14 Uhr.

2 Sei D := ℂ \ {x | x ∈ ]−∞, 0]}. Sei f : D → ℂ ein Zweig der Potenzfunktion z → z^{1/2} mit f(1) = −1, d.h. f : D → ℂ ist die eindeutige stetige Funktion, für die gilt

(i) (f(z))^{2} = z,

(ii) f(1) = −1.

Entwickeln Sie f als Potenzreihe im Punkte i, d.h. finden Sie ein α ∈ ℂ[[X]] und ein ε > 0, so dass

α(z) = f(i + z)

für alle |z| < ε. Lösung: Aus der reellen Analysis wissen wir für reelle x ∈] − 1, 1[

f(x + 1) = −\sqrt{1 + x} = −1 + \frac{1}{2}x − \frac{1 · 3}{2 · 4}x^{2} + ⋯ = ∑_{n=0}^{∞} b_{n}x^{n}

mit

b_{n} := (−1)^{n+1} \frac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^{2}} .

Setze β := ∑_{n=0}^{∞} b_{n}X^{n}. Es gilt f(e^{it}x) = e^{it/2}f(x) für t ∈] − π, π[ und x > 0 (klar für t = 0, für t ≠ 0 folgt es aus der Stetigkeit von f und obigen Eigenschaften. Somit gilt

f(i + ix) = f(i(1 + x)) = \frac{1 + i}{\sqrt{2}}f(1 + x) = \frac{1 + i}{\sqrt{2}}β(x),

also schließlich

f(i + z) = \frac{1 + i}{\sqrt{2}}β(−iz)

für alle imaginären z mit |z| < 1. Insbesondere ist ρ(β) ≥ 1. Der Identitätssatz für analytische Funktionen besagt nun, dass

f(i + z) = \frac{1 + i}{\sqrt{2}}β(−iz)

sogar für alle z mit |z| < 1 gilt.

http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/ft