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%  pdftitle={Seminar page},
%  pdfauthor={Bernd Ammann},
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\input{makros}
%\def\mR{{\bf R}}
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%\def\ga{{\gamma}}

\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Funktionentheorie 1"' im  SS 2001}

    Dr.~Bernd Ammann, Universit\"at Hamburg

    Blatt 13  \hfill  3.\ Juli 2001}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\a Bestimmen Sie Mittag-Leffler-Entwicklungen der folgenden Funktionen
\begin{enumerate}[(a)]
\item $\tan z$
\item ${\displaystyle 1 \over\displaystyle \sin z}$
\item ${\displaystyle 1\over \displaystyle\cos z}$
\end{enumerate}
 

\a Bestimmen Sie Weierstra\ss{}sche Produktentwicklungen von
\begin{enumerate}[(a)]
\item $\cos z$
\item $\sinh z$
\item $e^{az} - e^{bz}$, $a,b\in \mC$
\end{enumerate}

\a Seien $G_1, G_2\subset \mC$ Gebiete und sei $k:G_1\to G_2$ biholomorph. 
Sei $f:G_2\to \mR$ eine harmonische Funktion, d.h.\ $\De f\equiv 0$. 
Zeigen Sie, dass auch $f\circ k$ eine harmonische Funktion ist.

\a Sei $G$ ein homolog einfach zusammenh\"angendes Gebiet in $\mC$, 
$G\neq \mC$, $z_0\in G$. Sei $\overline{G}$ der Abschluss von $G$.
Zeigen Sie, dass es eine stetige Funktion 
$f:\overline{G}\setminus \{z_0\}\to\mR$ gibt mit  
\begin{enumerate}[(a)]
\item $f$ ist eine harmonische Funktion auf $G\setminus\{z_0\}$.
\item F\"ur alle $z\in \partial G$ gilt $f(z)=0$
\item $\lim\limits_{z\to z_0} |f(z)| = \infty$ 
\end{enumerate}
\emph{(Tipp: Benutzen Sie die Logarithmus-Funktion, um 
das Problem zun\"achst f\"ur die Einheitskreisscheibe zu l\"osen.
Verwenden Sie dann den Riemannschen Abbildungssatz, um ein geeignetes 
$f:G\setminus \{z_0\}\to \mR$ zu finden, das sich durch $0$ stetig auf den 
Rand fortsetzen l\"asst.)}  

%\a Die Einheitskreisscheibe $E:=\{ z\in \mC \,|\, |z|<1\}$ zusammen mit der 
%Metrik 
%    $$d(z_1,z_2):= $$
%hei\ss{}t \emph{hyperbolischer Raum}.
%Zeigen Sie, dass die biholomorphen Abbildungen $f:E\to E$
%Isometrien sind, d.h.\ 
%  $$d(f(z_1),f(z_2))= d(z_1,z_2).$$

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Dienstag,  10.~Juli 2001 vor der Vorlesung\\
Aufgaben 1 und 2 d\"urfen auch noch direkt in der \"Ubungsgruppe am 13.7.\ 
abgegeben werden.\\
Bitte geben Sie Ihren Namen und Ihre Gruppennummer
auf Ihren L\"osungen an.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/ft}
\end{document}
















