Übungen zur Vorlesung ”Funktionentheorie 1“ im SS 2001 Dr. Bernd Ammann, Universität Hamburg Blatt 13 3. Juli 2001

1 Bestimmen Sie Mittag-Leffler-Entwicklungen der folgenden Funktionen

(a) tan z

(b) \frac{1}{sin z}
(c) \frac{1}{cos z}

2 Bestimmen Sie Weierstraßsche Produktentwicklungen von

(a) cos z

(b) sinh z

(c) e^{az} − e^{bz}, a, b ∈ ℂ

3 Seien G_{1}, G_{2} ⊂ ℂ Gebiete und sei k : G_{1} → G_{2} biholomorph. Sei f : G_{2} → ℝ eine harmonische Funktion, d.h. Δf ≡ 0. Zeigen Sie, dass auch f ∘ k eine harmonische Funktion ist.

4 Sei G ein homolog einfach zusammenhängendes Gebiet in ℂ, G ≠ ℂ, z_{0} ∈ G. Sei \overline{G} der Abschluss von G. Zeigen Sie, dass es eine stetige Funktion f : \overline{G} \ \{z_{0}\} → ℝ gibt mit

(a) f ist eine harmonische Funktion auf G \ {z_{0}}.

(b) Für alle z ∈ ∂G gilt f(z) = 0

(c) lim_{z→z_{0}} |f(z)| = ∞

(Tipp: Benutzen Sie die Logarithmus-Funktion, um das Problem zunächst für die Einheitskreisscheibe zu lösen. Verwenden Sie dann den Riemannschen Abbildungssatz, um ein geeignetes f : G \ {z_{0}} → ℝ zu finden, das sich durch 0 stetig auf den Rand fortsetzen lässt.)

Abgabe: Dienstag, 10. Juli 2001 vor der Vorlesung Aufgaben 1 und 2 dürfen auch noch direkt in der Übungsgruppe am 13.7. abgegeben werden. Bitte geben Sie Ihren Namen und Ihre Gruppennummer auf Ihren Lösungen an.

http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/ft