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\input{makros}
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\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Funktionentheorie 1"' im  SS 2001}

    Dr.~Bernd Ammann, Universit\"at Hamburg

    Blatt 12  \hfill  26.\ Juni 2001}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\a Wieviele Nullstellen hat das Polynom 
$z^7-2z^5+6z^3-z+1$ auf der Einheitskreisscheibe? \\
\emph{Tipp: Satz von Rouch\'e.}


\a Bestimmen Sie die Menge aller M\"obius-Transformationen, die die obere
Halbebene 
  $$\{z=x+iy\,|\,y>0\}$$
biholomorph auf die Einheitskreisscheibe 
  $$E:=\{ z\in \mC \,|\, |z|<1\}$$
abbilden.

\a Sei $D$ eine offene Teilmenge von $\mC$, $0\in \mC$ 
und $f:D\to \mC$ eine holomorphe Funktion mit einer Nullstelle der Ordnung 
$k\in \mN$ in $0$. Zeigen Sie, dass es Umgebungen $U$, $V$ von $0$ gibt, so dass $f(U)=V$ und  
f\"ur jedes $v\in V\backslash\{0\}$ 
hat die Menge $\left(\res{f}{U}\right)^{-1}(v)$ genau $k$ Elemente. 

\a Sei $f:\mC\to \mC\cup \{+\infty\}$ eine nicht-konstante 
meromorphe Funktion. Wir nehmen an, dass $f$ doppelt periodisch ist,
d.h.\ es gibt zwei (reell) linear unabh\"angige Zahlen $\om_1$ und $\om_2$, 
so dass f\"ur alle $z\in \mC$ gilt:
  $$f(z)= f(z+\om_1),$$
  $$f(z)= f(z+\om_2).$$
Zeigen Sie:
\begin{enumerate}[(1)]
\item $f$ ist surjektiv,
\item die Anzahl der Nullstellen von $f$ (mit Multiplizit\"at) auf
dem Parallelogramm $P=\{t\om_1+s\om_2\,|\,0\leq t,s<1\}$ ist gleich 
der Anzahl der Pole von $f$ (mit Multiplizit\"at) auf $P$.
\end{enumerate}


%\a Die Einheitskreisscheibe $E:=\{ z\in \mC \,|\, |z|<1\}$ zusammen mit der 
%Metrik 
%    $$d(z_1,z_2):= $$
%hei\ss{}t \emph{hyperbolischer Raum}.
%Zeigen Sie, dass die biholomorphen Abbildungen $f:E\to E$
%Isometrien sind, d.h.\ 
%  $$d(f(z_1),f(z_2))= d(z_1,z_2).$$

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Dienstag,  3.~Juli 2001 vor der Vorlesung\\
Bitte geben Sie Ihren Namen und Ihre Gruppennummer
auf Ihren L\"osungen an.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/ft}
\end{document}
















