Übungen zur Vorlesung ”Funktionentheorie 1“ im SS 2001 Dr. Bernd Ammann, Universität Hamburg Blatt 12 26. Juni 2001

1 Wieviele Nullstellen hat das Polynom z^{7} − 2z^{5} + 6z^{3} − z + 1 auf der Einheitskreisscheibe? Tipp: Satz von Rouché.

2 Bestimmen Sie die Menge aller Möbius-Transformationen, die die obere Halbebene

{z = x + iy | y > 0}

biholomorph auf die Einheitskreisscheibe

E := {z ∈ ℂ | |z| < 1}

abbilden.

3 Sei D eine offene Teilmenge von ℂ, 0 ∈ ℂ und f : D → ℂ eine holomorphe Funktion mit einer Nullstelle der Ordnung k ∈ ℕ in 0. Zeigen Sie, dass es Umgebungen U, V von 0 gibt, so dass f(U) = V und für jedes v ∈ V \{0} hat die Menge (f|_{U})^{−1} (v) genau k Elemente.

4 Sei f : ℂ → ℂ ∪ {+∞} eine nicht-konstante meromorphe Funktion. Wir nehmen an, dass f doppelt periodisch ist, d.h. es gibt zwei (reell) linear unabhängige Zahlen ω_{1} und ω_{2}, so dass für alle z ∈ ℂ gilt:

f(z) = f(z + ω_{1}),
f(z) = f(z + ω_{2}).

Zeigen Sie:

(1) f ist surjektiv,

(2) die Anzahl der Nullstellen von f (mit Multiplizität) auf dem Parallelogramm P = {tω_{1} + sω_{2} | 0 ≤ t, s < 1} ist gleich der Anzahl der Pole von f (mit Multiplizität) auf P.

Abgabe: Dienstag, 3. Juli 2001 vor der Vorlesung Bitte geben Sie Ihren Namen und Ihre Gruppennummer auf Ihren Lösungen an.

http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/ft