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\input{makros}
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\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Funktionentheorie 1"' im  SS 2001}

    Dr.~Bernd Ammann, Universit\"at Hamburg

    Blatt 10  \hfill  12.\ Juni 2001}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\a Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale
\begin{enumerate}[(a)]
\item $$\int_{-\infty}^\infty {dx \over (x^2+1)(x^2+4)}$$
\item $$\int_0^\infty {x^2 \over x^4 + 6x^2 +5}\,dx$$
\end{enumerate}

\a Berechnen Sie die Integrale
\begin{enumerate}[(a)]
\item $$\int_0^{2\pi} {\sin^2 t \, dt\over 1-2 a\cos t + a^2} \mbox{ f\"ur } a\in \mR,$$
\item $$\int_0^{2\pi} {\cos^2 (2t) \, dt\over 1-2 a\cos t + a^2} \mbox{ f\"ur } |a|<1.$$ 
\end{enumerate}


\a $f$ und $g$ seien auf dem Gebiet $D\subset \mC$ nullstellenfreie, 
analytische Funktionen. Weiter existiere eine Folge $(a_n)_{n\in \mN}\subset D$
mit $\lim_{n\to\infty} a_n = a \in D$, $a_n\neq a$ f\"ur alle $n\in \mN$ und
  $${f'(a_n)\over f(a_n)}={g'(a_n)\over g(a_n)}$$
f\"ur alle $n\in \mN$. Zeigen Sie, dass es eine Konstante $c$ gibt mit 
$f(z)=cg(z)$ f\"ur alle $z\in D$.

\newpage
\a Es sei $f(z):={1\over e^z-1}$ und $\sum_{k\in \mZ} a_k z^k$
die Laurent-Entwicklung von $f$ auf einer punkierten Kreisscheibe 
um den Nullpunkt. 
\begin{enumerate}[(a)]
\item Zeigen Sie: $a_{-k}=0$ f\"ur $k\geq 2$.
\item Bestimmen Sie die Koeffizienten $a_{-1}$ und $a_0$.
\item Zeigen Sie: $a_{2k}=0$ f\"ur $k\geq 1$. 
\item Zeigen Sie: F\"ur die Koeffizienten
mit ungeradem positivem Index gilt die folgende Rekursionsformel:
  $${1\over (2k+1)!}- {1\over 2\cdot (2k)!} + 
    \sum_{r=1}^k {a_{2r-1}\over (2k-2r+1)!}=0$$
\end{enumerate}

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Dienstag,  19.~Juni 2001 vor der Vorlesung\\
Bitte geben Sie Ihren Namen und Ihre Gruppennummer
auf Ihren L\"osungen an.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/ft}
\end{document}
















