Übungen zur Vorlesung ”Funktionentheorie 1“ im SS 2001 Dr. Bernd Ammann, Universität Hamburg Blatt 10 12. Juni 2001

1 Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale

(a)

∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{(x^{2} + 1)(x^{2} + 4)}

(b)

∫_{0}^{∞} \frac{x^{2}}{x^{4} + 6x^{2} + 5} dx

2 Berechnen Sie die Integrale

(a)

∫_{0}^{2π} \frac{sin^{2} t dt}{1 − 2a cos t + a^{2}} für a ∈ ℝ,

(b)

∫_{0}^{2π} \frac{cos^{2}(2t) dt}{1 − 2a cos t + a^{2}} für |a| < 1.

3 f und g seien auf dem Gebiet D ⊂ ℂ nullstellenfreie, analytische Funktionen. Weiter existiere

eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} ⊂ D mit lim_{n→∞} a_{n} = a ∈ D, a_{n} ≠ a für alle n ∈ ℕ und

\frac{f′(a_{n})}{f(a_{n})} = \frac{g′(a_{n})}{g(a_{n})}

für alle n ∈ ℕ. Zeigen Sie, dass es eine Konstante c gibt mit f(z) = cg(z) für alle z ∈ D.

4 Es sei f(z) := \frac{1}{e^{z}−1} und ∑_{k∈ℤ} a_{k}z^{k} die Laurent-Entwicklung von f auf einer punkierten Kreisscheibe um den Nullpunkt.

(a) Zeigen Sie: a_{−k} = 0 für k ≥ 2.

(b) Bestimmen Sie die Koeffizienten a_{−1} und a_{0}.

(c) Zeigen Sie: a_{2k} = 0 für k ≥ 1.

(d) Zeigen Sie: Für die Koeffizienten mit ungeradem positivem Index gilt die folgende Re-

kursionsformel:

\frac{1}{(2k + 1)!} − \frac{1}{2 · (2k)!} + ∑_{r=1}^{k} \frac{a_{2r−1}}{(2k − 2r + 1)!} = 0

Abgabe: Dienstag, 19. Juni 2001 vor der Vorlesung Bitte geben Sie Ihren Namen und Ihre Gruppennummer auf Ihren Lösungen an.

http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/ft