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%  pdfauthor={Bernd Ammann},
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\input{makros}
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%\def\ga{{\gamma}}

\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Funktionentheorie 1"' im  SS 2001}

    Dr.~Bernd Ammann, Universit\"at Hamburg

    Blatt 9  \hfill  29.\ Mai 2001}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\begin{quote}\em
\"Ubungsgruppen:\\ Gruppe 1 (Zeinstra), Geom 432, am Freitag 11.45--13.15 Uhr,\\
 Gruppe 2 (Kabel), Geom 435 am Freitag 12.30--14 Uhr.
\end{quote} 
\a Berechnen Sie die Laurent-Entwicklung im Punkte $0$ der Funktionen 
\begin{enumerate}[(1)]
\item $f:\mC\setminus \{0\}\to \mC$, $f(z)=e^{1/z^2}$ auf dem Kreisring-Gebiet $\mC\setminus \{0\}$
\item $f:\mC\setminus \{0,2\}\to \mC$, $f(z)={1\over z(z-2)}$ auf dem Kreisring-Gebiet $\{z\in \mC\,|\,0<|z|<2\}$
\item $f:\mC\setminus \{0,2\}\to \mC$, $f(z)={1\over z(z-2)}$ auf dem Kreisring-Gebiet $\{z\in \mC\,|\,2<|z|<\infty\}$
\end{enumerate}

\a Sei $A:=\left\{{1\over n}\,|\,n\in \mN\right\}\cup \{0\}$. 
Bestimmen Sie alle holomorphe, beschr\"ankte Funktionen auf 
$\mC\setminus A.$
{\it Beachten Sie hierbei, dass $A$ nicht diskret ist.}

%\a In einem Punkt $z_0$ habe $f$ einen Pol $m$-ter Ordnung und
%$g$ eine Nullstelle $k$-ter Ordnung. Man bestimme die Art der 
%Singlarit\"aten von $f+g$, $f/g$ $f\cdot g$ und $f-g$ in $z_0$.

\a Es sei $f(z):= {1 \over z (1-z^2)}\, e^{1/z^3}$. Bestimmen Sie die Lage und 
die Art der Singularit\"aten von $f$.
 
\a Bestimmen Sie alle biholomorphen Abbildungen $f:\mC\to \mC$.
({\it Tipp: Zeigen Sie zuerst mit Hilfe des Satzes von Casorati-Weierstrass
und dem Satz von der Gebietstreue,
dass $f(1/z)$ keine wesentliche Singularit\"at in $0$ hat. Anschlie\ss{}end
kann der Fundamentalsatz der Algebra n\"utzlich sein.})

%\a Es sei $f(z):={1\over e^z-1}$ und $\sum_{k\in \mZ} a_k z^k$
%die Laurent-Entwicklung von $f$ um den Nullpunkt. Man zeige, dass die
%$a_{2k}$ f\"ur $k\geq 1$ gleich $0$ sind und dass f\"ur die Koeffizienten
%mit ungeradem positivem Index die folgende Rekursionsformel gilt:
%  $${1\over (2k+1)!}- ...$$

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Dienstag,  12.~Juni 2001 vor der Vorlesung\\
Bitte geben Sie Ihren Namen und Ihre Gruppennummer
auf Ihren L\"osungen an.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/ft}
\end{document}
















