Übungen zur Vorlesung ”Funktionentheorie 1“ im SS 2001 Dr. Bernd Ammann, Universität Hamburg Blatt 9 29. Mai 2001

Übungsgruppen:

Gruppe 1 (Zeinstra), Geom 432, am Freitag 11.45–13.15 Uhr, Gruppe 2 (Kabel), Geom 435 am Freitag 12.30–14 Uhr.

1 Berechnen Sie die Laurent-Entwicklung im Punkte 0 der Funktionen

(1) f : ℂ \ {0} → ℂ, f(z) = e^{1/z^{2}} auf dem Kreisring-Gebiet ℂ \ {0}

(2) f : ℂ \ \{0, 2\} → ℂ, f(z) = \frac{1}{z(z−2)} auf dem Kreisring-Gebiet \{z ∈ ℂ | 0 < |z| < 2\}

(3) f : ℂ \ \{0, 2\} → ℂ, f(z) = \frac{1}{z(z−2)} auf dem Kreisring-Gebiet \{z ∈ ℂ | 2 < |z| < ∞\}

2 Sei A := \{\frac{1}{n} | n ∈ ℕ\} ∪ \{0\}. Bestimmen Sie alle holomorphe, beschränkte Funktionen auf ℂ \ A. Beachten Sie hierbei, dass A nicht diskret ist.

3 Es sei f(z) := \frac{1}{z(1−z^{2})} e^{1/z^{3}}. Bestimmen Sie die Lage und die Art der Singularitäten von f.

4 Bestimmen Sie alle biholomorphen Abbildungen f : ℂ → ℂ. (Tipp: Zeigen Sie zuerst mit Hilfe des Satzes von Casorati-Weierstrass und dem Satz von der Gebietstreue, dass f(1/z) keine wesentliche Singularität in 0 hat. Anschließend kann der Fundamentalsatz der Algebra nützlich sein.)

Abgabe: Dienstag, 12. Juni 2001 vor der Vorlesung Bitte geben Sie Ihren Namen und Ihre Gruppennummer auf Ihren Lösungen an.

http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/ft