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%  pdfauthor={Bernd Ammann},
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\input{makros}
%\def\mR{{\bf R}}
%\def\mC{{\bf C}}
%\def\ga{{\gamma}}

\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Funktionentheorie 1"' im  SS 2001}

    Dr.~Bernd Ammann, Universit\"at Hamburg

    Blatt 8  \hfill  22.\ Mai 2001}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\begin{quote}\em
\"Ubungsgruppen:\\ Gruppe 1 (Zeinstra), Geom 432, am Freitag 11.45--13.15 Uhr,\\
 Gruppe 2 (Kabel), Geom 435 am Freitag 12.30--14 Uhr.
\end{quote}

\a Berechnen Sie das folgende Integral mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel
  $$\int_{\ga} {e^z\over (z^2 -2i)\,\sin z}\,dz.$$
Hierbei sei $\ga:[0,2\pi]\to \mC$, $\ga(t)=2+i+\sqrt{2}\,e^{2it}$.

\a  Wir betrachten die Schleife
$\ga:[0,2 \pi]\to \mC$, $\ga(t)= 2e^{it} - e^{3it}$.
Skizzieren Sie $\ga$.
Berechnen Sie die Umlaufzahl $n(\ga,w_i)$ f\"ur $w_1=0$ und 
$w_2= 6+{39\over 289}i$.\newline
({\it Tipp: Deformieren Sie die "`Radien"'}.)

\a
F\"ur alle $a \in \mR$ berechne man:
  $$\int_o^\pi e^{a \cos t} \cos (a \sin t) \, dt.$$

\a Seien $f$ eine stetig differenzierbare Abbildung von einem
Gebiet $G_1$ in ein Gebiet $G_2$.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Zeigen Sie: F\"ur 2-Ketten $\Psi\in K_2(G_1)$ 
gilt die Identit\"at
  $$f_*(\partial_2 \Psi)= \partial_2 (f_* \Psi).$$
\item Zeigen Sie: F\"ur 1-Ketten 
$\gamma\in K_1(G_1)$ gilt die Identit\"at
  $$f_*(\partial_1 \Psi)= \partial_1 (f_* \Psi).$$
\item Folgern Sie hieraus: 
  $$f_*(Z_1(G_1))\subset Z_1(G_2),$$
  $$f_*(R_1(G_1))\subset R_1(G_2).$$
\end{enumerate}


%\a Sei $G$ ein Gebiet mit $Z_1(G)=R_1(G)$, d.h.\ jeder Zykel ist homolog Null.
%Sei $f:G\to \mC$ holomorph auf $G$. Zeigen Sie, dass $f(z)\,dz$ 
%global exakt ist, dass es also eine holomorphe Funtion $F:G\to \mC$ gibt
%mit $F'\equiv f$. ({\it Tipp: Zeigen Sie zun\"achst: F\"ur eine beliebigen 
%Weg $\ga$ ist das Integral $\int_\ga f(z)\,dz$ wegunabh\"angig, 
%d.h. es h\"angt nur von den Endpunkten von $\ga$ ab. Definieren Sie dann 
%$F$, so wie eir es in der Vorlesung f\"ur einfach zusammenh\"angende 
%Gebiete gemacht haben.})

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Dienstag,  29.~Mai 2001 vor der Vorlesung\\
Bitte geben Sie Ihren Namen und Ihre Gruppennummer
auf Ihren L\"osungen an.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/ft}
\end{document}
















