Übungen zur Vorlesung ”Funktionentheorie 1“ im SS 2001 Dr. Bernd Ammann, Universität Hamburg Blatt 8 22. Mai 2001

Übungsgruppen:

Gruppe 1 (Zeinstra), Geom 432, am Freitag 11.45–13.15 Uhr, Gruppe 2 (Kabel), Geom 435 am Freitag 12.30–14 Uhr.

1 Berechnen Sie das folgende Integral mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel

∫_{γ} \frac{e^{z}}{(z^{2} − 2i) sin z} dz.

Hierbei sei γ : [0, 2π] → ℂ, γ(t) = 2 + i + \sqrt{2} e^{2it}.

2 Wir betrachten die Schleife γ : [0, 2π] → ℂ, γ(t) = 2e^{it} − e^{3it}. Skizzieren Sie γ. Berechnen Sie die Umlaufzahl n(γ, w_{i}) für w_{1} = 0 und w_{2} = 6 + \frac{39}{289}i. (Tipp: Deformieren Sie die ”Radien“.)

3 Für alle a ∈ ℝ berechne man:

∫_{o}^{π} e^{a cos t} cos(a sin t) dt.

4 Seien f eine stetig differenzierbare Abbildung von einem Gebiet G_{1} in ein Gebiet G_{2}.

(a) Zeigen Sie: Für 2-Ketten Ψ ∈ K_{2}(G_{1}) gilt die Identität

f_{∗}(∂_{2}Ψ) = ∂_{2}(f_{∗}Ψ).

(b) Zeigen Sie: Für 1-Ketten γ ∈ K_{1}(G_{1}) gilt die Identität

f_{∗}(∂_{1}Ψ) = ∂_{1}(f_{∗}Ψ).

(c) Folgern Sie hieraus:

f_{∗}(Z_{1}(G_{1})) ⊂ Z_{1}(G_{2}),
f_{∗}(R_{1}(G_{1})) ⊂ R_{1}(G_{2}).

Abgabe: Dienstag, 29. Mai 2001 vor der Vorlesung Bitte geben Sie Ihren Namen und Ihre Gruppennummer auf Ihren Lösungen an.

http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/ft