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\input{makros}
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\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Funktionentheorie 1"' im  SS 2001}

    Dr.~Bernd Ammann, Universit\"at Hamburg

    Blatt 7  \hfill  15.\ Mai 2001}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\begin{quote}\em
\"Ubungsgruppen:\\ Gruppe 1 (Zeinstra), Geom 432, am Freitag 11.45--13.15 Uhr,\\
 Gruppe 2 (Kabel), Geom 435 am Freitag 12.30--14 Uhr.
\end{quote}

\a Sei $\al_i$ die Potenzreihenentwicklung der folgenden 
holomorphen Funktionen $f_i$ im Punkt $z_i$, d.h.\ 
  $$\al_i(z)=f_i(z_i+z).$$
\begin{enumerate}[(i)]
\item $f_1:\mC\ohne\{3,5i\}\to \mC$, $f_1(z)={1\over z-3}+{1\over z-5i}$, $z_1=2+4i,$
\item $f_2:\mC\ohne(\{3\}\cup \{-x\,|\,x\in \mR, x\ge 0\})\to \mC$, 
      $f_2(z)=e^z{1\over z-3}+\Log(z)$, $z_2=3/2+i.$
\end{enumerate}
Bestimmen Sie die Konvergenzradien von $\al_1$ und $\al_2$.\newline
({\it Tipp: Sie m\"ussen die $\al_i$ nicht berechnen! Benutzen Sie den Satz 
\"uber die Potenzreihenentwicklung (Satz~7.3 und Zusatz~7.5)}).

\a Beweisen Sie die folgende Version des Maximumprinzips: 
Ist $f:D\to\mC$ eine holomorphe Funktion auf dem Gebiet $D$ und gibt es ein 
$z_0\in D$ mit 
  $${\rm Re} f(z)\leq {\rm Re} f(z_0)\quad\mbox{f\"ur alle $z\in D$,}$$ 
dann ist $f$ notwendigerweise konstant.

\a Sei $G$ ein Gebiet und sei $p\in G$ fest.
Man zeige die \"Aquivalenz der folgenden Aussagen:
\begin{enumerate}[(1)]
\item $G$ ist einfach zusammenh\"angend, d.h. jede Schleife 
ist homotop zu einer Punktkurve.
\item Je zwei Kurven in $G$ mit gleichem Anfangs- und Endpunkt sind homotop. 
\end{enumerate}

\a Sei $z=x+iy$. Untersuchen Sie, ob es eine in ganz $\mC$ holomorphe 
Funktion $f(z)=u(x,y) + i v(x,y)$ gibt, f\"ur die gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $u(x,y)= e^x (x\cos(y) - y \sin(y))$
\item $u(x,y)= (x+1-y)(x+1+y)e^x\cos(y) -(x+1-y)(x+1+y)$
\end{enumerate}
und bestimmen Sie gegebenenfalls eine solche Funktion.

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Dienstag,  22.~Mai 2001 vor der Vorlesung\\
Bitte geben Sie Ihren Namen und Ihre Gruppennummer
auf Ihren L\"osungen an.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/ft}
\end{document}
















