Übungen zur Vorlesung ”Funktionentheorie 1“ im SS 2001 Dr. Bernd Ammann, Universität Hamburg Blatt 7 15. Mai 2001

Übungsgruppen:

Gruppe 1 (Zeinstra), Geom 432, am Freitag 11.45–13.15 Uhr, Gruppe 2 (Kabel), Geom 435 am Freitag 12.30–14 Uhr.

1 Sei α_{i} die Potenzreihenentwicklung der folgenden holomorphen Funktionen f_{i} im Punkt z_{i},

d.h.

α_{i}(z) = f_{i}(z_{i} + z).

(i) f_{1} : ℂ − \{3, 5i\} → ℂ, f_{1}(z) = \frac{1}{z−3} + \frac{1}{z−5i}, z_{1} = 2 + 4i,

(ii) f_{2} : ℂ − (\{3\} ∪ \{−x | x ∈ ℝ, x ≥ 0\}) → ℂ, f_{2}(z) = e^{z} \frac{1}{z−3} + Log(z), z_{2} = 3/2 + i.

Bestimmen Sie die Konvergenzradien von α_{1} und α_{2}. (Tipp: Sie müssen die α_{i} nicht berechnen! Benutzen Sie den Satz über die Potenzreihenentwicklung (Satz 7.3 und Zusatz 7.5)).

2 Beweisen Sie die folgende Version des Maximumprinzips: Ist f : D → ℂ eine holomorphe Funktion auf dem Gebiet D und gibt es ein z_{0} ∈ D mit

Ref(z) ≤ Ref(z_{0}) für alle z ∈ D,

dann ist f notwendigerweise konstant.

3 Sei G ein Gebiet und sei p ∈ G fest. Man zeige die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

(1) G ist einfach zusammenhängend, d.h. jede Schleife ist homotop zu einer Punktkurve.

(2) Je zwei Kurven in G mit gleichem Anfangs- und Endpunkt sind homotop.

4 Sei z = x + iy. Untersuchen Sie, ob es eine in ganz ℂ holomorphe Funktion f(z) = u(x, y) + iv(x, y) gibt, für die gilt:

(i) u(x, y) = e^{x}(x cos(y) − y sin(y))

(ii) u(x, y) = (x + 1 − y)(x + 1 + y)e^{x} cos(y) − (x + 1 − y)(x + 1 + y)

und bestimmen Sie gegebenenfalls eine solche Funktion.

Abgabe: Dienstag, 22. Mai 2001 vor der Vorlesung Bitte geben Sie Ihren Namen und Ihre Gruppennummer auf Ihren Lösungen an.

http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/ft