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%  pdftitle={Seminar page},
%  pdfauthor={Bernd Ammann},
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\input{makros}
%\def\mR{{\bf R}}
%\def\mC{{\bf C}}
%\def\ga{{\gamma}}

\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Funktionentheorie 1"' im  SS 2001}

    Dr.~Bernd Ammann, Universit\"at Hamburg

    Blatt 6  \hfill  8.\ Mai 2001}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\begin{quote}\em
\"Ubungsgruppen:\\ Gruppe 1 (Zeinstra), Geom 432, am Freitag 11.45--13.15 Uhr,\\
 Gruppe 2 (Kabel), Geom 435 am Freitag 12.30--14 Uhr.
\end{quote}

\a Sei $p(z)$ ein Polynom mit komplexen Koeffizienten, $a\in \mC$, $r>0$ 
und sei $\ga:[0,2\pi]\to\mC$, $\ga(t)=a+r\,e^{it}$.

Zeigen Sie, dass 
  $$\int_\ga \overline{p(z)}\,dz= 2\pi i\, r^2\, \overline{p'(a)}.$$

\a Berechnen Sie das Integral
  $$\int {dz\over z^3+z^2+z+1}$$
l\"angs dem Kreis $\ga:[0,2\pi]\to \mC$, $\ga(t)=2e^{it}$.


\a Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
\begin{enumerate}[(a)]
\item Jede sternf\"ormige Menge $M\subset \mC$ ist einfach zusammenh\"angend.
\item Ist $A$ einfach zusammenh\"angend und $f:A\to \mC$ stetig, so ist auch
$f(A)$ einfach zusammenh\"angend.
\item Ist $f:A\to \mC$ stetig und $f(A)$ einfach zusammenh\"angend, so
ist auch $A$ einfach zusammenh\"angend.
\item Sind $A$ und $B$ offen, ist $f:A\to B$ bijektiv und sind $f$ und $f^{-1}$stetig differenzierbar, so ist $A$
genau dann einfach zusammenh\"agend, wenn $f(A)$ einfach zusammenh\"angend.
\end{enumerate}

\newpage
\a Sei $G$ eine offene Menge in $\mC$. 
Sei $\ga:[0,1]\to G$ eine st\"uckweise stetig differenzierbare Kurve. 
Sei $f:G\to \mC$ eine stetige Funktion.
\begin{enumerate}[(a)]
\item
Eine \emph{Zerlegung} von $[0,1]$ 
ist eine endliche Teilmenge $\{t_0,\dots,t_n\}$ von $[0,1]$, so dass
$0=t_0<t_1\dots<t_{n-1}<t_n=1$.
Zeigen Sie   
  $$\cL(\ga) =  \sup \sum_{j=1}^n \left|\ga(t_{j})-\ga(t_{j-1})\right|,$$
wobei sich das Supremum \"uber alle Zerlegungen mit beliebigem $n\in\mN$
erstreckt.
\item
Sei $\tau:[0,1]\to [0,1]$ eine orientierungserhaltende Parametertransformation,
d.h. eine bijektive Abbildung, so dass $\tau$ und $\tau^{-1}$ st\"uckweise 
stetig differenzierbar und $\tau(0)=0$ und $\tau(1)=1$. Dann gilt
  $$\cL(\ga)=\cL(\ga\circ \tau)$$
  $$\int_\ga f(z)\,dz=\int_{\ga\circ\tau} f(z)\,dz.$$
\end{enumerate}

%\a Sei $\ga:[0,1]\to \mC$ eine {\bf stetige} Kurve. Sei $\ep>0$.
%Eine \emph{Zerlegung} von $[0,1]$ der \emph{Feinheit} 
%$\ep$ ist eine endliche Teilmenge $\{t_0,\dots,t_n\}$ von $[0,1]$, so dass
%$0=t_0<t_1\dots<t_{n-1}<t_n=1$ und $t_{j+1}-t_j<\ep$.
%Sei $\cZ_\ep$ die Menge aller Zerlegungen $t_0<\dots<t_n$ mit 
%Feinheit $\ep$ und beliebigem $n\in \mN$. 
%Wir definieren   
%  $$\cL_{\rm rek}(\ga):=  \sup_{\cZ_\ep} \sum_{j=1}^n 
%    \left|\ga(t_{j})-\ga(t_{j-1})\right|.$$
%Sei $G\subset \mC$ mit $\ga([0,1])\subset G$.
%Wir setzen voraus, dass $\cL_{\rm rek}(\ga)<\infty$ gilt. 

%F\"ur eine stetige Funktion $f:G\to \mC$ sei ${\rm Int}_\ga f$ die eindeutige
%Zahl $\al$, so dass 
%  $$\lim_{\de\to 0} \sup_{\cZ_\de} \sum_{j=1}^n
%    \left| \al -f\big(\ga(t_j)\big)\left(\ga(t_{j})-\ga(t_{j-1})\right)\right|%=0.$$
%Zeigen Sie:
%\begin{enumerate}[(a)]
%\item  Die Definition von $\cL_{\rm rek}(\ga)$ 
%ist unabh\"angig von der Wahl von $\ep$.
%\item Der Grenzwert $\lim_{\de\to 0}$ in der Definition von 
%${\rm Int}_\ga f$ existiert.
%\item Ist $\tau:[0,1]\to[0,1]$ streng monoton und surjektiv, so gilt
%  $$\cL_{\rm rek}(\ga)=\cL_{\rm rek}(\ga\circ \tau).$$  
%  $${\rm Int}_\ga f={\rm Int}_{\ga\circ\tau} f.$$
%\item F\"ur st\"uckweise stetig differenzierbare Kurven 
%$\ga:[0,1]\to G$ gilt
% $$\cL_{\rm rek}(\ga)=\cL(\ga).$$
% $${\rm Int}_\ga f=\int_\ga f \,dz.$$
%\end{enumerate}

%\a Es seinen $a_1,\dots,a_k\in \mC$ paarweise verschieden und $p_r(z)$ $(r=1,\dots,k)$ seien Polynome mit 
%  $$\sum_{r=1}^k p_r(z) e^{a_r z} \equiv 0.$$
%Zeigen Sie, dass $p_r(z)\equiv 0$ f\"ur alle $r=1,\dots,k$ gilt.

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Dienstag,  15.~Mai 2001 vor der Vorlesung\\
Bitte geben Sie Ihren Namen und Ihre Gruppennummer
auf Ihren L\"osungen an.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/ft}
\end{document}
















