Übungen zur Vorlesung ”Funktionentheorie 1“ im SS 2001 Dr. Bernd Ammann, Universität Hamburg Blatt 6 8. Mai 2001

Übungsgruppen:

Gruppe 1 (Zeinstra), Geom 432, am Freitag 11.45–13.15 Uhr, Gruppe 2 (Kabel), Geom 435 am Freitag 12.30–14 Uhr.

1 Sei p(z) ein Polynom mit komplexen Koeffizienten, a ∈ ℂ, r > 0 und sei γ : [0, 2π] → ℂ, γ(t) = a + r e^{it}. Zeigen Sie, dass

∫_{γ} \overline{p(z)} dz = 2πi r^{2} \overline{p′(a)}.

2 Berechnen Sie das Integral

∫ \frac{dz}{z^{3} + z^{2} + z + 1}

längs dem Kreis γ : [0, 2π] → ℂ, γ(t) = 2e^{it}.

3 Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

(a) Jede sternförmige Menge M ⊂ ℂ ist einfach zusammenhängend.

(b) Ist A einfach zusammenhängend und f : A → ℂ stetig, so ist auch f(A) einfach zusammenhängend.

(c) Ist f : A → ℂ stetig und f(A) einfach zusammenhängend, so ist auch A einfach zusammenhängend.

(d) Sind A und B offen, ist f : A → B bijektiv und sind f und f^{−1}stetig differenzierbar, so ist A genau dann einfach zusammenhägend, wenn f(A) einfach zusammenhängend.

4 Sei G eine offene Menge in ℂ. Sei γ : [0, 1] → G eine stückweise stetig differenzierbare Kurve. Sei f : G → ℂ eine stetige Funktion.

(a) Eine Zerlegung von [0, 1] ist eine endliche Teilmenge {t_{0}, …, t_{n}} von [0, 1], so dass 0 = t_{0} < t_{1} ⋯ < t_{n−1} < t_{n} = 1. Zeigen Sie

L(γ) = sup ∑_{j=1}^{n} |γ(t_{j}) − γ(t_{j−1})| ,

wobei sich das Supremum über alle Zerlegungen mit beliebigem n ∈ ℕ erstreckt.

(b) Sei τ : [0, 1] → [0, 1] eine orientierungserhaltende Parametertransformation, d.h. eine bijektive Abbildung, so dass τ und τ^{−1} stückweise stetig differenzierbar und τ(0) = 0 und τ(1) = 1. Dann gilt

L(γ) = L(γ ∘ τ)
∫_{γ} f(z) dz = ∫_{γ∘τ} f(z) dz.

Abgabe: Dienstag, 15. Mai 2001 vor der Vorlesung Bitte geben Sie Ihren Namen und Ihre Gruppennummer auf Ihren Lösungen an.

http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/ft