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%  pdftitle={Seminar page},
%  pdfauthor={Bernd Ammann},
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\input{makros}
%\def\mR{{\bf R}}
%\def\mC{{\bf C}}
%\def\ga{{\gamma}}

\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Funktionentheorie 1"' im  SS 2001}

    Dr.~Bernd Ammann, Universit\"at Hamburg

    Blatt 5  \hfill  4.\ Mai 2001}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\begin{quote}\em
\"Ubungsgruppen:\\ Gruppe 1 (Zeinstra), Geom 432, am Freitag 11.45--13.15 Uhr,\\
 Gruppe 2 (Kabel), Geom 435 am Freitag 12.30--14 Uhr.
\end{quote}

\a Jede der drei Funktionen $f_1(z)=|z|$, $f_2(z)=\mbox{Re} (z) + \mbox{Im}(z)$, 
$f_3(z)=z^2$ soll integriert werden \"uber jede der folgenden Kurven von 
$0$ nach $1+i$:
\begin{enumerate}[(a)]
\item $\ga_1(t)=(1+i)\, t$ f\"ur $0\leq t \leq 1$
\item $\ga_2(t)=\begin{cases}t &\mbox{f\"ur }0\leq t \leq 1\cr 1+i\,(t-1) & \mbox{f\"ur }1\leq t \leq 2\end{cases}$ 
\end{enumerate}


%\a Sei $G$ ein Gebiet in $\mC$, $\phi:[a,b]\to G$ {\bf stetig} und
%$f:G\to \mC$ stetig.
%Wir definieren die \emph{L\"ange} von  $\cL(\ga)$ als das Supremum
%\"uber alle Zerlegungen $a=t_0= \sup \sum \left|\ga(t_{i+1})-\ga(t_i)\right|$$
%  $$\int_\ga f = \lim \sup $$

\a Sei $\tau:[0,1]\to [0,1]$ bijektiv, $\tau$, $\tau^{-1}$ 
st\"uckweise stetig differenzierbar, $\tau(0)=0$, $\tau(1)=1$. 
Sei $\ga:[0,1]\to G$ eine st\"uckweise stetig differenzierbare Kurve. 
Dann ist $\ga$ homotop zu $\ga\circ \tau$.

\a Sei $G$ ein Gebiet, $p\in G$.
Man zeige die \"Aquivalenz der folgenden Aussagen:
\begin{enumerate}[(1)]
\item $G$ ist einfach zusammenh\"angend, d.h.\ jede Schleife
ist homotop zu einer Punktkurve.
\item Jede Schleife $\ga:[0,1]\to G$ ist \emph{frei homotop Null}, d.h.\
es gibt eine st\"uckweise stetig differenzierbare Abbildung 
$\Psi:[0,1]\times[0,1]\to G$ mit $\Psi(t,0)=\ga(t)$, $\Psi(t,1)=\Psi(1,1)$
und $\Psi(0,s)=\Psi(1,s)$ f\"ur alle $t,s\in [0,1]$. 
\item Jede Schleife in $G$ mit Basispunkt $p$ ist homotop zu der Punktkurve 
mit Basispunkt $p$.
\item Je zwei Kurven in $G$ mit gleichem Anfangs- und Endpunkt sind homotop. 
\end{enumerate}

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Dienstag,  8.~Mai 2001 vor der Vorlesung\\
Bitte geben Sie Ihren Namen und Ihre Gruppennummer
auf Ihren L\"osungen an.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/ft}
\end{document}
















