Übungen zur Vorlesung ”Funktionentheorie 1“ im SS 2001 Dr. Bernd Ammann, Universität Hamburg Blatt 5 4. Mai 2001

Übungsgruppen:

Gruppe 1 (Zeinstra), Geom 432, am Freitag 11.45–13.15 Uhr, Gruppe 2 (Kabel), Geom 435 am Freitag 12.30–14 Uhr.

1 Jede der drei Funktionen f_{1}(z) = |z|, f_{2}(z) = Re(z) + Im(z), f_{3}(z) = z^{2} soll integriert werden über jede der folgenden Kurven von 0 nach 1 + i:

(a) γ_{1}(t) = (1 + i) t für 0 ≤ t ≤ 1

(b) γ_{2}(t) = \begin{cases}t & für 0 ≤ t ≤ 1 \\ 1 + i (t − 1) & für 1 ≤ t ≤ 2 \end{cases}

2 Sei τ : [0, 1] → [0, 1] bijektiv, τ, τ^{−1} stückweise stetig differenzierbar, τ(0) = 0, τ(1) = 1. Sei γ : [0, 1] → G eine stückweise stetig differenzierbare Kurve. Dann ist γ homotop zu γ ∘ τ.

3 Sei G ein Gebiet, p ∈ G. Man zeige die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

(1) G ist einfach zusammenhängend, d.h. jede Schleife ist homotop zu einer Punktkurve.

(2) Jede Schleife γ : [0, 1] → G ist frei homotop Null, d.h. es gibt eine stückweise stetig differenzierbare Abbildung Ψ : [0, 1] × [0, 1] → G mit Ψ(t, 0) = γ(t), Ψ(t, 1) = Ψ(1, 1) und Ψ(0, s) = Ψ(1, s) für alle t, s ∈ [0, 1].

(3) Jede Schleife in G mit Basispunkt p ist homotop zu der Punktkurve mit Basispunkt p.

(4) Je zwei Kurven in G mit gleichem Anfangs- und Endpunkt sind homotop.

Abgabe: Dienstag, 8. Mai 2001 vor der Vorlesung Bitte geben Sie Ihren Namen und Ihre Gruppennummer auf Ihren Lösungen an.

http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/ft