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\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Funktionentheorie 1"' im  SS 2001}

    Dr.~Bernd Ammann, Universit\"at Hamburg

    Blatt 4  \hfill  24.\ April 2001}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\begin{quote}\em
\"Ubungsgruppen:\\ Gruppe 1 (Zeinstra), Geom 432, am Freitag 11.45--13.15 Uhr,\\
 Gruppe 2 (Kabel), Geom 435 am Freitag 12.30--14 Uhr.
\end{quote}

\a Sei $f:U_1(0)\to \mC$ definiert durch
  $$f(z):= \sum_{\nu=1}^\infty \left(1+ {1\over \nu}\right)\,\overline{z}^\nu.$$
Zeigen Sie:
\begin{enumerate}[(a)]
\item $f$ ist wohldefiniert, d.h. die obige Reihe konvergiert auf $U_1(0)$
\item Berechnen Sie die Wirtinger-Ableitungen
  ${\displaystyle \partial f\over\displaystyle \partial z}$ und ${\displaystyle\partial f\over \displaystyle\partial \overline{z}}$.
\end{enumerate}

\a Sei $D:=\mC\setminus\left\{x\,|\,x\in \mathopen]-\infty,0]\right\}$. 
Sei $f:D\to \mC$ ein Zweig der Potenzfunktion $z\to z^{1/2}$ mit $f(1)=-1$,
d.h. $f:D\to \mC$ ist die eindeutige stetige Funktion, f\"ur die gilt
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\left(f(z)\right)^2=z$,
\item $f(1)=-1$.
\end{enumerate}
Entwickeln Sie $f$ als Potenzreihe im Punkte $i$, d.h. finden Sie ein 
$\al\in \mC[[X]]$ und ein $\ep>0$, so dass 
  $$\al(z)=f(i+z)$$
f\"ur alle $|z|<\ep$.

\a Sei $D$ ein Gebiet. Zeigen Sie:
Sind $f$ und $g$ analytische Funktionen auf $D$ und gilt $f\cdot g\equiv 0$,
dann folgt entweder $f\equiv 0$ oder $g\equiv 0$.

\a Sei $\epsilon >0$ gegeben. 
Sei $D:=\mC\setminus\left\{x\,|\,x\in \mathopen]-\infty,0]\right\}$.
Wir definieren $f:D\to \mC$ durch 
  $$f(z)=\left(\sin \Log (z)\right)^5 + 6\left(\sin \Log (z)\right)^2+ 
    8\left(\sin \Log (z)\right).$$
Zeigen Sie: Es gibt keine analytische Funktion $g:U_{\ep}(0)\to \mC$
mit $f(z)=g(z)$ f\"ur alle $z\in U_{\ep}(0)\cap D$.\\
\emph{Tipp: Konstruieren Sie eine Folge $a_n\in D$, mit $a_n\to 0$ und 
$f(a_n)=0$ und nutzen Sie Satz~4.8 aus der Vorlesung.}

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Freitag,  4.~Mai 2001 in der \"Ubungsgruppe\\
%Bitte geben Sie Ihren Namen und Ihre Gruppennummer
%auf Ihren L\"osungen an.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/ft}
\end{document}
















