Übungen zur Vorlesung ”Funktionentheorie 1“ im SS 2001 Dr. Bernd Ammann, Universität Hamburg Blatt 4 24. April 2001

Übungsgruppen:

Gruppe 1 (Zeinstra), Geom 432, am Freitag 11.45–13.15 Uhr, Gruppe 2 (Kabel), Geom 435 am Freitag 12.30–14 Uhr.

1 Sei f : U_{1}(0) → ℂ definiert durch

f(z) := ∑_{ν=1}^{∞} (1 + \frac{1}{ν}) \overline{z}^{ν}.

Zeigen Sie:

(a) f ist wohldefiniert, d.h. die obige Reihe konvergiert auf U_{1}(0)

(b) Berechnen Sie die Wirtinger-Ableitungen \frac{∂f}{∂z} und \frac{∂f}{∂\overline{z}}.

2 Sei D := ℂ \ {x | x ∈ ]−∞, 0]}. Sei f : D → ℂ ein Zweig der Potenzfunktion z → z^{1/2} mit f(1) = −1, d.h. f : D → ℂ ist die eindeutige stetige Funktion, für die gilt

(i) (f(z))^{2} = z,

(ii) f(1) = −1.

Entwickeln Sie f als Potenzreihe im Punkte i, d.h. finden Sie ein α ∈ ℂ[[X]] und ein ε > 0, so dass

α(z) = f(i + z)

für alle |z| < ε.

3 Sei D ein Gebiet. Zeigen Sie: Sind f und g analytische Funktionen auf D und gilt f · g ≡ 0, dann folgt entweder f ≡ 0 oder g ≡ 0.

4 Sei ϵ > 0 gegeben. Sei D := ℂ \ {x | x ∈ ]−∞, 0]}. Wir definieren f : D → ℂ durch

f(z) = (sin Log(z))^{5} + 6 (sin Log(z))^{2} + 8 (sin Log(z)) .

Zeigen Sie: Es gibt keine analytische Funktion g : U_{ε}(0) → ℂ mit f(z) = g(z) für alle z ∈ U_{ε}(0) ∩ D. Tipp: Konstruieren Sie eine Folge a_{n} ∈ D, mit a_{n} → 0 und f(a_{n}) = 0 und nutzen Sie Satz 4.8 aus der Vorlesung.

Abgabe: Freitag, 4. Mai 2001 in der Übungsgruppe

http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/ft