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\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Funktionentheorie 1"' im  SS 2001}

    Dr.~Bernd Ammann, Universit\"at Hamburg

    Blatt 3  \hfill  17.\ April 2001}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\begin{quote}\em
\"Ubungsgruppen:\\ Gruppe 1 (Zeinstra), Geom 432, am Freitag 11.45--13.15 Uhr,\\
 Gruppe 2 (Kabel), Geom 435 am Freitag 12.30--14 Uhr.
\end{quote}


\a 
\begin{enumerate}[(a)]
\item F\"ur welche $\alpha\in K[[X]]$ ist die Gleichung $\alpha\cdot \beta=1$
nach $\beta$ l\"osbar?
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\alpha= 1 + 4 X + 4 X^2$
\item $\alpha= 1 + 5 X^2 + 6 X^9$
\item $\alpha= (X+X^3)(1+X+X^2+X^3+\dots)$
\end{enumerate}
\item Berechnen Sie $\beta$ in (a)(i).
\item F\"ur welche $\alpha$ aus (a) ist die Gleichung $\alpha \circ \beta=X$ nach $\beta$ l\"osbar.
\end{enumerate}

\a Berechnen Sie die Wirtinger-Ableitungen ${\partial \over \partial z}f$
und ${\partial \over \partial \overline{z}}f$ f\"ur folgende Funktionen
\begin{enumerate}[(a)]
\item $f:\mC\to \mC$, $f(z)=z^k\cdot \overline{z}^m$, $k,m\in \mN\cup \{0\}$.
\item $f=\cos:\mC\to \mC$, $\cos z:= 
\sum_{n=0}^\infty {(-1)^n\,z^{2n}\over (2n)!}$
\end{enumerate}
Welche $f$ sind holomorph?

\a 
\begin{enumerate}[(a)]
\item Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen:
  $$\al_1=\sum_{v=0}^\infty {X^\nu \over \nu!} \qquad \al_2=\sum_{v=0}^\infty {\nu!\,X^\nu}\qquad \al_3=\sum_{v=0}^\infty {X^\nu}\qquad \al_4=\sum_{v=0}^\infty{1\over \nu} {X^\nu}\qquad \al_5=\sum_{v=0}^\infty{1\over \nu^2} {X^\nu}$$
\item Bestimmen Sie f\"ur $i=1,\dots, 5$ unter welchen Bedingungen
$\al_i(z)$ konvergiert, falls $z$ auf dem Rand des Konvergenzkreises liegt, 
d.h.\ untersuchen Sie f\"ur alle $z\in \mC$ mit 
$|z|=\rho(\al_i)$, ob die Reihe $\al_i(z)$ konvergiert. 
\end{enumerate}
 
\newpage
\a \emph{Lokaler Umkehrsatz f\"ur komplex differenzierbare Funktionen.}\\
Sei $D\subset \mC$ offen und sei 
${f:D\to \mC}$ holomorph und $f':D\to \mC$ stetig. Gegeben sei ein $z\in D$ mit $f'(z)\neq 0$ .
Zeigen Sie:
\begin{enumerate}[(a)]
\item Es gibt ein $\epsilon >0$, so dass $\res{f}{U_\epsilon(z)}$ ein 
Diffeomorphismus von $U_\epsilon(z)$ auf $f(U_\epsilon(z))$ ist.
\emph{Tipp: Benutzen Sie den lokalen Umkehrsatz f\"ur Funktionen 
$\mR^2\to \mR^2$. Verwenden Sie die Cauchy-Riemannschen 
Differentialgleichungen, um zu zeigen, dass die Funktionaldeterminante von $f$ 
(im reellen Sinne) genau dann verschwindet, wenn $f'(z)=0$.} 
\item Die Umkehrabbildung $g:=\left(\res{f}{U_\epsilon(z)}\right)^{-1}$
ist holomorph.
\end{enumerate}


\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Dienstag,  24.\ April 2001 zu Beginn der Vorlesung\\
Bitte geben Sie Ihren Namen und Ihre Gruppennummer
auf Ihren L\"osungen an.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/ft}
\end{document}
















