Übungen zur Vorlesung ”Funktionentheorie 1“ im SS 2001 Dr. Bernd Ammann, Universität Hamburg Blatt 3 17. April 2001

Übungsgruppen:

Gruppe 1 (Zeinstra), Geom 432, am Freitag 11.45–13.15 Uhr, Gruppe 2 (Kabel), Geom 435 am Freitag 12.30–14 Uhr.

1

(a) Für welche α ∈ K[[X]] ist die Gleichung α · β = 1 nach β lösbar?

(i) α = 1 + 4X + 4X^{2}

(ii) α = 1 + 5X^{2} + 6X^{9}

(iii) α = (X + X^{3})(1 + X + X^{2} + X^{3} + …)

(b) Berechnen Sie β in (a)(i).

(c) Für welche α aus (a) ist die Gleichung α ∘ β = X nach β lösbar.

2 Berechnen Sie die Wirtinger-Ableitungen \frac{∂}{∂z}f und \frac{∂}{∂\overline{z}}f für folgende Funktionen

(a) f : ℂ → ℂ, f(z) = z^{k} · \overline{z}^{m}, k, m ∈ ℕ ∪ \{0\}.

(b) f = cos : ℂ → ℂ, cos z := ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n} z^{2n}}{(2n)!}

Welche f sind holomorph?

3

(a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen:

α_{1} = ∑_{v=0}^{∞} \frac{X^{ν}}{ν!}  α_{2} = ∑_{v=0}^{∞} ν! X^{ν}  α_{3} = ∑_{v=0}^{∞} X^{ν}  α_{4} = ∑_{v=0}^{∞} \frac{1}{ν}X^{ν}  α_{5} = ∑_{v=0}^{∞} \frac{1}{ν^{2}} X^{ν}

(b) Bestimmen Sie für i = 1, …, 5 unter welchen Bedingungen α_{i}(z) konvergiert, falls z auf dem Rand des Konvergenzkreises liegt, d.h. untersuchen Sie für alle z ∈ ℂ mit |z| = ρ(α_{i}), ob die Reihe α_{i}(z) konvergiert.

4 Lokaler Umkehrsatz für komplex differenzierbare Funktionen. Sei D ⊂ ℂ offen und sei f : D → ℂ holomorph und f′ : D → ℂ stetig. Gegeben sei ein z ∈ D mit f′(z) ≠ 0 . Zeigen Sie:

(a) Es gibt ein ϵ > 0, so dass f|_{U_{ϵ}(z)} ein Diffeomorphismus von U_{ϵ}(z) auf f(U_{ϵ}(z)) ist. Tipp: Benutzen Sie den lokalen Umkehrsatz für Funktionen ℝ^{2} → ℝ^{2}. Verwenden Sie die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen, um zu zeigen, dass die Funktionaldeterminante von f (im reellen Sinne) genau dann verschwindet, wenn f′(z) = 0.

(b) Die Umkehrabbildung g := (f|_{U_{ϵ}(z)})^{−1} ist holomorph.

Abgabe: Dienstag, 24. April 2001 zu Beginn der Vorlesung Bitte geben Sie Ihren Namen und Ihre Gruppennummer auf Ihren Lösungen an.

http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/ft