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%  pdftitle={Seminar page},
%  pdfauthor={Bernd Ammann},
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\input{makros}
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\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Funktionentheorie 1"' im  SS 2001}

    Blatt 2  \hfill  10.\ April 2001}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\begin{quote}\em
\"Ubungsgruppen:\\ Gruppe 1 (Zeinstra), Geom 432, am Freitag 11.45--13.15 Uhr,\\
 Gruppe 2 (Kabel), Geom 435 am Freitag 12.30--14 Uhr.
\end{quote}
\a 
Welche der folgenden Teilmenge von $\mC$ sind kompakt?
\begin{enumerate}[(a)]
\item\ \newline\vskip-1.05cm
\begin{tabular}{l@{\kern2cm}l }
$A_1:=\left\{z\,\big|\,z^2 = 1\right\}$ & $A_2:=\left\{z\,\big|\,|z|=1\right\}$\\[2mm]
$A_3:=\left\{z\,\big|\,|z|\leq 1\right\}$&
$A_4:=\left\{z\,\big|\,|z|<1\right\}$\\[2mm]
$A_5:=\left\{z\,\big|\,|z|\geq 1\right\}$&
$A_6:=\left\{z\,\big|\,|z|> 1\right\}$
\end{tabular}

\item $A_7:=\left\{z=x+iy\,\big|\,2x^2+ 2 xy + 2y^2= 5 \right\}$

 $A_8:=\left\{z=x+iy\,\big|\,7x^8+x^5+8x^3+2= 4y^4+ y^3 + y+ 3\right\}$
\end{enumerate}

\a Welche der folgenden Funktionen $f:\mC\to \mC$ sind holomporph?
\begin{enumerate}[(a)]
\item $f(z)=16 z^5 + z^3+ z$
\item $f(x+iy)=e^x \sin y - i e^x \cos y$
\item $f(x+iy)=e^x \sin y + i e^x \cos y$
\item $f(z)= z^2\cdot \overline{z}$
\end{enumerate}

\a Zeigen Sie an Hand der Definition holomorpher Funktionen, dass 
\begin{eqnarray*}
  f:\mC\setminus \{0\}&\to&\mC\setminus \{0\}\\
   z&\mapsto& {1\over z}
\end{eqnarray*}
eine holomorphe Funktion ist, d.h. zeigen Sie, dass 
  $$\lim_{h\to 0}\frac{\displaystyle{1\over z+h}-{1\over z} - \left(-{1\over z^2}\right)\cdot h}{h}=0.$$
\newpage
\a 
\begin{enumerate}[(a)]
\item Sei $D\subset\mC$ offen. Zeigen Sie: Sind $f,g:D\to \mC$ in $z\in D$ 
komplex differenzierbare Funktionen, so sind auch $f+g$, $f-g$, $f\cdot g$
komplex differenzierbar in $z$ und es gilt
\begin{enumerate}[(i)]
\item $(f+g)'(z)=f'(z)+g'(z)$ (\emph{Summenregel})
\item $(f-g)'(z)=f'(z)-g'(z)$ (\emph{Differenzenregel})
\item $(f\cdot g)'(z)=f'(z)\cdot g(z) +f(z)\cdot g'(z)$ (\emph{Produktregel}) 
\end{enumerate}
\item Seien $D,\widetilde{D}\subset\mC$ offen. 
Zeigen Sie die \emph{Kettenregel}:\\ 
Ist $g:D\to \widetilde{D}$ komplex differenzierbar 
in $z\in D$ und ist $f:\widetilde{D}\to \mC$ komplex differenzierbar in $g(z)$,
so ist auch $f\circ g:D\to \mC$ komplex differenzierbar in $z$ und es gilt 
  $$(f\circ g)'(z):= f'(g(z)) \cdot g'(z).$$
\item Sei $D\subset\mC$ offen. Zeigen Sie die \emph{Quotientenregel}:\\ 
Sind $f,g:D\to \mC$ in $z\in D$ 
komplex differenzierbare Funktionen und gilt $g(z_1)\ne 0$ f\"ur alle
$z_1\in D$, so ist auch $f/g$ komplex differenzierbar in $z$ und es gilt
  $$\left({f\over g}\right)'(z):= {f'(z)\cdot g(z)-f(z)\cdot g'(z)\over g(z)^2}.$$
\end{enumerate}



\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Dienstag,  17.\ April 2001 zu Beginn der Vorlesung\\
Bitte geben Sie Ihren Namen %und ihre Gruppennummer
auf ihren L\"osungen an.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/ft}
\end{document}
















