Übungen zur Vorlesung ”Funktionentheorie 1“ im SS 2001 Blatt 2 10. April 2001

Übungsgruppen: Gruppe 1 (Zeinstra), Geom 432, am Freitag 11.45–13.15 Uhr, Gruppe 2 (Kabel), Geom 435 am Freitag 12.30–14 Uhr.

1 Welche der folgenden Teilmenge von ℂ sind kompakt?

(a)

\begin{matrix}A_{1} := \{z | z^{2} = 1\} & A_{2} := \{z | |z| = 1\} \\ A_{3} := \{z | |z| ≤ 1\} & A_{4} := \{z | |z| < 1\} \\ A_{5} := \{z | |z| ≥ 1\} & A_{6} := \{z | |z| > 1\} \end{matrix}

(b) A_{7} := {z = x + iy | 2x^{2} + 2xy + 2y^{2} = 5}

A_{8} := {z = x + iy | 7x^{8} + x^{5} + 8x^{3} + 2 = 4y^{4} + y^{3} + y + 3}

2 Welche der folgenden Funktionen f : ℂ → ℂ sind holomporph?

(a) f(z) = 16z^{5} + z^{3} + z

(b) f(x + iy) = e^{x} sin y − ie^{x} cos y

(c) f(x + iy) = e^{x} sin y + ie^{x} cos y

(d) f(z) = z^{2} · \overline{z}

3 Zeigen Sie an Hand der Definition holomorpher Funktionen, dass

f : ℂ \ {0} → ℂ \ {0}
z ↦ \frac{1}{z}

eine holomorphe Funktion ist, d.h. zeigen Sie, dass

lim_{h→0} \frac{\frac{1}{z + h} − \frac{1}{z} − (−\frac{1}{z^{2}} ) · h}{h} = 0.

(a) Sei D ⊂ ℂ offen. Zeigen Sie: Sind f, g : D → ℂ in z ∈ D komplex differenzierbare Funktionen, so sind auch f + g, f − g, f · g komplex differenzierbar in z und es gilt

(i) (f + g)′(z) = f′(z) + g′(z) (Summenregel)

(ii) (f − g)′(z) = f′(z) − g′(z) (Differenzenregel)

(iii) (f · g)′(z) = f′(z) · g(z) + f(z) · g′(z) (Produktregel)

(b) Seien D, D̃ ⊂ ℂ offen. Zeigen Sie die Kettenregel: Ist g : D → D̃ komplex differenzierbar in z ∈ D und ist f : D̃ → ℂ komplex differenzierbar in g(z), so ist auch f ∘ g : D → ℂ komplex differenzierbar in z und es gilt

(f ∘ g)′(z) := f′(g(z)) · g′(z).

(c) Sei D ⊂ ℂ offen. Zeigen Sie die Quotientenregel: Sind f, g : D → ℂ in z ∈ D komplex differenzierbare Funktionen und gilt g(z_{1}) ≠ 0 für alle z_{1} ∈ D, so ist auch f/g komplex differenzierbar in z und es gilt

(\frac{f}{g} )′ (z) := \frac{f′(z) · g(z) − f(z) · g′(z)}{g(z)^{2}}.

Abgabe: Dienstag, 17. April 2001 zu Beginn der Vorlesung Bitte geben Sie Ihren Namen auf ihren Lösungen an.

http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/ft