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  pdftitle={Seminar page},
  pdfauthor={Bernd Ammann},
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\input{makros}
%\def\mR{{\bf R}}
%\def\mC{{\bf C}}
%\def\ga{{\gamma}}


\begin{document}

{\large 
    {\bf "Ubungen zur Vorlesung "`Funktionentheorie 1"' im  SS 2001}

    Blatt 1  \hfill  3.\ April 2001}
\\[-1.5ex] 
\makebox[0mm]{}\hrulefill    
    
\vspace{1ex}

\begin{quote}\em
Bitte tragen Sie sich am 3.\ April in der Vorlesung in die Liste der \"Ubungsgruppen ein.  Es gibt zwei Gruppen: Gruppe 1, Geom 435, am Freitag 10--12 Uhr, 
Gruppe 2, Geom 435 am Freitag 12--14 Uhr.
Die Einteilung wird am Mittwoch, den 4.\ April bekanntgegeben unter
\begin{center}
\tt http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/ft/uebunsgruppen.dvi
\end{center}
und per Aushang vor Zimmer 340.
Am 6.\ April finden bereits zum erstenmal \"Ubungen statt. 
In diesen \"Ubungen werden Grundlagen wiederholt, die f"ur das Verst"andnis 
der Vorlesung wichtig sind. Fragen sind sehr willkommen!
\end{quote}

\a 
\begin{enumerate}[(a)]
\item
Berechnen Sie den Realteil, den Imagin\"arteil, den Betrag und das Argument
der komplexen Zahlen
\begin{enumerate}
\item $z = {\displaystyle (2i+1)(i-2)+1\over\displaystyle (2-i)^2 -2+i}$
\item $z = {\displaystyle(3+i)^5\over \displaystyle4i+2}+{\displaystyle(2+i)^2-6\over\displaystyle 5+2i}$
\end{enumerate}
\item Man ermittle s\"amtliche L\"osungen der Gleichung $z^5= 3 - i\sqrt{3}$.
\end{enumerate}

\a F\"ur eine Teilmenge $M\subset \mC$ definieren wir die \emph{abgeschlossene 
H\"ulle} 
  $$\overline{M}= \bigcap \{A\,|\, M\subset A, \quad A \mbox{ abgeschlossen}\},$$
den \emph{offenen Kern}
  $$\inn{M}= \bigcup \{U\,|\, U \subset M  , \quad U \mbox{ offen}\}$$
und den Rand $\pa M:=\overline{M} \setminus \inn{M}$.
Zeigen Sie, dass $\overline{M}$ und $\pa M$ abgeschlossen sind, und 
dass $\inn{M}$ offen ist.

\newpage
\a Wir betrachten die Abbildung
\begin{eqnarray*}
  f:\mC\setminus \{0\} & \to & \mC\setminus \{0\}\\
                     z & \to & 1/\overline{z}
\end{eqnarray*}
Berechnen Sie 
\begin{enumerate}[(a)]
\item die Fixpunkte der Abbildung $f$, d.h.\ die Punkte mit $f(z)=z$. 
\item das Bild der Geraden $g:=\{1 +it\,|\, t\in \mR\}$ unter $f$.
\end{enumerate}
Skizzieren Sie die Fixpunktmenge von $f$, die Gerade $g$ und das Bild $f(g)$.
\a
Skizzieren Sie 
  $$M:=\{iy\,|\, -1\leq y\leq 1\}\cup \{x + i \sin (1/x)\,|\,x>0\}$$
und zeigen Sie, dass $M$ 
zusammenh\"angend, aber nicht wegzusammenh\"angend ist.

\vskip 5mm
\vspace\fill
Abgabe: Dienstag,  10.\ April 2001 zu Beginn der Vorlesung\\
Bitte geben Sie Ihren Namen und Ihre Gruppennummer auf ihren L\"osungen an.\\
\texttt{\small http://www.math.uni-hamburg.de/home/ammann/ft}
\end{document}
















